《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第二章 圆与圆的位置关系课件

2.3.42．3.4圆与圆的位置关系【学习要求】1．理解圆与圆的五种位置关系，掌握它的位置关系的判定方法．2．会利用圆与圆的位置关系求解与圆有关的问题，了解圆系的使用方法．【学法指导】通过观察图形，探究出两圆的位置关系与圆心距与两圆的半径和与差的大小关系，归纳出判断两圆位置关系的方法，培养数形结合的思想.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4填一填·知识要点、记下疑难点1．几何法判断圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为r1，r2.(1)当dr1＋r2时，圆C1与圆C2；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2；(3)当|r1－r2|dr1＋r2时，圆C1与圆C2；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2；(5)当d|r1－r2|时，圆C1与圆C2．外离外切相交内切内含本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4填一填·知识要点、记下疑难点2．代数法判断圆与圆的位置关系：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.若方程中，则两圆相交；若方程中，则两圆相切；若方程中，两圆外离或内含.Δ0Δ＝0Δ0本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效[问题情境]同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？本节就来探讨这个问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效探究点一圆与圆的位置关系问题1圆与圆的位置关系有几类？答有内含、内切、相交、外切、外离五种．问题2如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？答根据两圆的方程，求出两圆心的坐标及两圆的半径R，r，利用两点间的距离公式求出两圆的圆心距d，然后利用若d|R－r|，则两圆内含；若d＝|R－r|，则两圆内切；若|R－r|＜d＜R＋r，则两圆相交；若d＝R＋r，则两圆外切；若d＞R＋r，则两圆外离.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效问题3已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，判断两个圆位置关系的步骤如何？答(1)将两圆的方程化为标准方程；(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r；(3)求两圆的圆心距d;(4)比较d与|R－r|，R＋r的大小关系作出结论．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效例1判断下列两圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解(1)两圆的方程分别变形为(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2.所以两个圆心的坐标分别为(1,0)和(2，－1)，半径分别为r1＝2，r2＝2，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝2－12＋－12＝2，r1＋r2＝2＋2，所以r1－r2dr1＋r2.因此这两个圆相交．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效(2)两圆的方程分别变形为x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.所以两个圆心的坐标分别为(0,1)和(3，0)，半径分别为r1＝1，r2＝3，则两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．小结跟判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数，但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)内切．解将两圆方程写成标准方程，得(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝3＋2＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或2.(2)当d＝3－2＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，解得a＝－1或a＝－2.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效探究点二两圆公共弦问题例2已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组x2＋y2＋2x－6y＋1＝0①x2＋y2－4x＋2y－11＝0②的解，①－②得3x－4y＋6＝0，∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.d＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效∴|AB|＝2r2－d2＝232－952＝245.即两圆的公共弦长为245.小结求两相交圆的公共弦的方程及公共弦长时，一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦长．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2判断两圆C1：x2＋y2－2x＝0与C2：x2＋y2－4y＝0的位置关系．若相交，求其公共弦长．解∵C1(1,0)，C2(0,2)，r1＝1，r2＝2，∴d＝|C1C2|＝5r1＋r2＝3，5r2－r1＝1，故两圆相交．如图所示：设两圆的公共弦OA与连心线C1C2交于M点，则C1M⊥OA，|OA|＝2|AM|.∵C1(1,0)，|AC1|＝1.由两圆的方程，得直线OA的方程为x－2y＝0.从而|C1M|＝|1－2×0|12＋－22＝15.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效于是|OA|＝2|AM|＝2|AC1|2－|C1M|2＝212－152＝455.综上所述，圆C1、圆C2相交，公共弦长为455.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效探究点三求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程问题1若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，M(x0，y0)为一个交点，则点M(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上吗？为什么？答M(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上．因为M(x0，y0)为两圆的交点，所以M(x0，y0)既适合圆C1的方程也适合圆C2的方程，所以有x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②由①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋F1－F2＝0，这个方程说明了M(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效问题2若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，它们的交点弦所在的直线方程是什么？为什么？答它们的交点弦所在的直线方程为：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.设两圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由问题1知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上，而两点确定一条直线，所以过A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程即为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，也即两圆的公共弦所在的直线方程．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效例3求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与y＝x相切的圆的方程．解设所求的圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.联立方程组y＝xx2＋y2＋4x－2y－4＋λx＋y＋4＝0，得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.因为圆与y＝x相切，所以Δ＝0.即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3.故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效小结过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0；过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程，可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解方法一依题意所求的圆的圆心在已知两圆的圆心的连心线上，又已知两圆的圆心分别为(－3,0)和(0，－3)．则连心线的方程是x＋y＋3＝0.由x＋y＋3＝0x－y－4＝0解得x＝12y＝－72.所以所求圆的圆心坐标是12，－72.设所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y＋m＝0，由三个圆有同一条公共弦，本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4研一研·问题探究、课堂更高效x2＋y2＋6x－4－(x2＋y2＋6y－28)＝0，得x－y＋4＝0，x2＋y2＋6x－4－(x2＋y2－x＋7y＋m)＝0，得x－y－4＋m7＝0，所以－4＋m7＝4，即m＝－32.故所求方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，整理得：x2＋y2＋6x1＋λ＋6λy1＋λ－4＋28λ1＋λ＝0，圆心坐标为－31＋λ，－3λ1＋λ，因圆心在直线x－y－4＝0上，所以有－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7.所以所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4练一练·当堂检测、目标达成落实处1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切解析圆x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心为(4，－3)，半径为4.两圆心之间的距离为5，∵|3－4|53＋4，∴两圆相交．B本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4练一练·当堂检测、目标达成落实处2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.解析两圆的圆心和半径分别为O1(0,0)，r1＝2，O2(a,0)，r2＝1，由两圆内切可得d(O1，O2)＝r1－r2，即|a|＝1，所以a＝±1.±1本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.4练一练·当堂检测、目标达成落实处3．圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在的直线方程为________．解析设两圆相交于A、B两点，则A、B两点满足x2＋y2＝1，x－12＋y2＝1.两式相减得－2x＋1＝0，即x＝12.x＝12本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.41．判断两圆的位置关系的方法：(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．本课时栏目开关填一填研一研练一练