《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第一章章末复

本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·双基题目、基础更牢固1．在△ABC中，a＝80，b＝150，A＝30°，则B的解的个数是()A．0个B．1个C．2个D．不确定解析∵bsinAab，∴B有两解．C本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·双基题目、基础更牢固2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°解析∵sinC＝23sinB，∴c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，A∵A为△ABC的内角，∴A＝30°，故选A.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·双基题目、基础更牢固3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝14，sinCsinA＝2，且S△ABC＝154，则b等于()A．4B．3C．2D．1解析依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，C所以b＝c＝2a.sinB＝1－cos2B＝154，又S△ABC＝12acsinB＝12×b2×b×154＝154，所以b＝2，选C.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课试一试·双基题目、基础更牢固4．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘轮船之间的距离为海里．解析如图，连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13(海里)．13本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型一构建方程(组)解三角形问题例1已知△ABC中，b＝3，c＝33，B＝30°，求a的值．解方法一利用余弦定理求解．先将b＝3，c＝33，B＝30°代入b2＝a2＋c2－2accosB，有32＝a2＋(33)2－2a·33·cos30°.整理，得a2－9a＋18＝0.所以a＝6或a＝3，经检验6和3均符合题意．所以a的值为6或3.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效方法二利用正弦定理求解．∵csinB＝323，∴cbcsinB.∴△ABC有两解．∵csinC＝bsinB＝6，∴sinC＝32.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝180°－B－C＝90°.由asinA＝bsinB＝6，解得a＝6.当C＝120°时，A＝180°－B－C＝30°.由asinA＝bsinB＝6，解得a＝3.所以a的值为6或3.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效小结已知三角形的两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，也可用余弦定理解三角形．如已知a，b，A，可先由余弦定理求出边c，即列关于c的方程a2＝b2＋c2－2bccosA，解出c后要注意验证c值与a，b是否能构成三角形．符合题意的c值有几个，对应的三角形就有几解．本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练1某人向正东方向走一段距离后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，求开始所走的距离．解如图所示，设此人从A出发，设AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理，得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或23.所以开始所走的距离为3或23.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型二构建目标函数解三角形问题例2甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解设甲、乙两船经t小时后相距最近，且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时．本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效①当0≤t＜2时，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，所以PQ＝AQ2＋AP2－2AP·AQcos120°＝20－10t2＋8t2－220－10t×8t×－12＝84t2－240t＋400＝221t2－60t＋100.②当t＝2时，PQ＝8×2＝16.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效③当t2时，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ·APcos60°＝221t2－60t＋100.综合①②③知，PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)．当且仅当t＝3021＝107时，PQ最小．答甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．小结利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t的目标函数，注意到t＝2时，乙到达A处，此时，甲船、乙船、A地构不成三角形，要注意分类讨论．本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．动画演示本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效解(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝5－4cosθ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝12×1×2sinθ＋34×(5－4cosθ)＝2sinθ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，ymax＝2＋534.所以四边形OPDC面积的最大值为2＋534.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型三构建辅助圆解三角形问题例3在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ其中sinθ＝2626，0°θ90°且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效解(1)如图所示，AB＝402，AC＝1013，∠BAC＝θ，sinθ＝2626.由于0°θ90°，所以cosθ＝1－26262＝52626.由余弦定理得BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ＝105.所以船的行驶速度为1054060＝10523＝155(海里/小时)．本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(2)如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设有，x1＝y1＝22AB＝40，x2＝ACcos∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30，y2＝ACsin∠CAD＝1013sin(45°－θ)＝20.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效所以过点B、C的直线l的斜率k＝2010＝2，直线l的方程为y＝2x－40.又点E(0，－55)到直线l的距离d＝|0＋55－40|1＋4＝357，所以船会进入警戒水域．小结第(1)问实际上就是求BC的长度，在△ABC中，利用余弦定理求解即可；第(2)问警戒区域是以E为中心的一个圆，半径为7(海里)，问题实质上可以看作直线BC与圆E是否有交点，因此可以构建辅助圆E来求解．本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是()A．0C≤π6B．0Cπ2C.π6Cπ2D.π6C≤π3解析方法一(应用正弦定理)∵ABsinC＝BCsinA，∴1sinC＝2sinA，∴sinC＝12sinA.∵0sinA≤1，∴0sinC≤12.∵ABBC，∴CA，∴C为锐角，∴0C≤π6.本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效方法二(构建辅助圆)如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝π6，∴0C≤π6.答案A本课时栏目开关画一画试一试研一研章末复习课解三角形问题，一般可以用以下三种方法来解决：1构建方程组；2构建目标函数；3构建辅助圆.本课时栏目开关画一画试一试研一研