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1.1.21.1.2量词【学习要求】1．通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义．2．会判断全称命题和存在性命题的真假．【学法指导】通过实例体会全称命题、存在性命题的形式及含义，运用类比的思想学习两个概念，找出它们的异同，体会数学、文字语言与符号语言的统一，加深对命题与量词描述客观事实和数学问题的认识．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2填一填·知识要点、记下疑难点1．全称量词定义：短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示．全称命题：含有____________的命题，叫做全称命题．形式：____________.读作：“对任意的x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词定义：短语“__________”“有些”“______________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示．存在性命题：含有____________的命题，叫做存在性命题．形式：______________.读作：“存在M中的元素x，使p(x0)成立”.所有的任意一个∀全称量词有一个至少有一个∃存在量词∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一全称量词与全称命题问题1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效答案语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．结论：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier)，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2怎样判定一个全称命题的真假？答案要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．小结判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋20；(2)∀x∈N，x4≥1.解(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20，所以命题“∀x∈R，x2＋20”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二存在量词与存在性命题问题1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除．答案(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效结论：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier)，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2怎样判断一个存在性命题的真假？答案要判定存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例2判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，存在性命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．小结存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)∃x0∈Z，x301；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tanα无意义．解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－11，∴“∃x0∈Z，x301”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝π2时，tanα无意义．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点三全称命题、存在性命题的应用问题不等式有解和不等式恒成立有何区别？答案不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个存在性命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例3(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax2＋2x＋10，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．解(1)∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74，∴实数a的取值范围为74，＋∞.本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效(2)∵对∀x∈R，p(x)是真命题．∴对∀x∈R，ax2＋2x＋10恒成立，当a＝0时，不等式为2x＋10不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则a0，Δ＝4－4a0，∴a1.小结有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosxm恒成立．求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinx＋cosxm有解，求实数m的取值范围．解(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥－2，又∵∀x∈R，sinx＋cosxm恒成立，∴只要m－2即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－2)．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2研一研·问题探究、课堂更高效(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4∈[－2，2]．又∵∃x∈R，sinx＋cosxm有解，∴只要m2即可，∴所求m的取值范围是(－∞，2).本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．下列命题中存在性命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.A．0B．1C．2D．3解析命题①含有存在量词；B命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个存在性命题．本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x30D．∀x∈R,2x0解析对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝π4时，tanx＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．C本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x0满足x20＝3.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x0∈Q，x20＝3.(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.本专题栏目开关填一填研一研练一练1.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题.本专题栏目开关填一填研一研练一练