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2.1.2(二)2.1.2椭圆的几何性质(二)【学习要求】熟练掌握椭圆的几何性质及简单应用；利用椭圆的知识解决一些简单的实际应用问题．【学法指导】灵活运用方程思想、函数思想、对称思想．学会利用运动变化的观点思考问题，提高分析问题、解决问题的能力.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)试一试·双基题目、基础更牢固1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是()A.x225＋y220＝1B.x220＋y225＝1C.x220＋y245＝1D.x280＋y225＝1B本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)2．方程x225－m＋y216＋m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A．－16m25B．－16m92C．92m25D．m92解析由题意知25－m0，16＋m0，16＋m25－m.解得92m25.试一试·双基题目、基础更牢固C本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)3．(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的方程为________；(2)对称轴是坐标轴，离心率等于32，且过点(2,0)的椭圆的方程是________．解析(1)由题意知ca＝35a＋b＝92a2－b2＝c2解得a＝52，b＝42.由于焦点位置不确定．所以椭圆的方程有两种形式，即x250＋y232＝1或x232＋y250＝1.试一试·双基题目、基础更牢固本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)(2)由e＝32，即ca＝32且a2－b2＝c2得a＝2b.故可设所求的方程为x24b2＋y2b2＝1或x2b2＋y24b2＝1.点(2,0)分别代入方程得两方程中b2的值分别为b2＝1，b2＝4.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1或x24＋y216＝1.答案(1)x250＋y232＝1或x232＋y250＝1；试一试·双基题目、基础更牢固(2)x24＋y2＝1或x24＋y216＝1本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)4．已知椭圆x22a＋y2a2＝1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在________轴上，坐标是________．解析由题意得2c＝4，c＝2.因2a－a2＝4，即a2－2a＋4＝0无解．知焦点在y轴上，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．试一试·双基题目、基础更牢固答案y(0，－2)和(0,2)本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)5．已知椭圆x2m＋y24＝1的离心率为12，则m＝______.解析(1)若m4，则m－4m＝(12)2，即4m－16＝m，因此m＝163；试一试·双基题目、基础更牢固(2)若m4，则4－m4＝(12)2，即16－4m＝4，因此m＝3.综上所述，m＝3或m＝163.答案3或163本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)题型一椭圆中的最值问题例1已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，点P为椭圆上的任意一点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值．解设|PF1|＝x，由椭圆的定义知，|PF2|＝2a－x.∴|PF1|·|PF2|＝x(2a－x)＝－(x－a)2＋a2.研一研·题型解法、解题更高效又由椭圆的几何性质可知，a－c≤x≤a＋c.∴当x＝a时，|PF1|·|PF2|取得最大值a2.当x＝a＋c或x＝a－c时，|PF1|·|PF2|取得最小值a2－c2＝b2.所以|PF1|·|PF2|的最大值为a2，最小值为b2.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)小结求椭圆中某一量的最值，关键是通过椭圆的几何性质建立起函数关系，使问题转化为函数的最值问题．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)跟踪训练1若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．研一研·题型解法、解题更高效解析由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则OP→·FP→＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x20＋x0＋y20.∵P为椭圆上一点，∴x204＋y203＝1.∴OP→·FP→＝x20＋x0＋3(1－x204)＝x204＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2，∴OP→·FP→的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)如图，已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．研一研·题型解法、解题更高效解由x225＋y29＝1得a＝5，b＝3，c＝4，点A(4,0)为椭圆的一个焦点，另一个焦点F(－4,0)，∴|MA|＋|MF|＝2a＝10，∴|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|，在△BMF中，两边之差的绝对值小于第三边，且|BF|＝210，∴－210＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝210，∴10－210≤|MA|＋|MB|≤10＋210，∴最小值为10－210，最大值为10＋210.例2本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)小结本题关键要运用椭圆的定义将P到左焦点距离转化为P到右焦点距离解决．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)跟踪训练2已知点A(1,1)，而且F1是椭圆x29＋y25＝1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|＋|PA|的最小值和最大值．解|PF1|＋|PA|＝2a－|PF2|＋|PA|＝2a－(|PF2|－|PA|)≥2a－|AF2|＝6－2(当且仅当F2、A、P三点共线且点A在点P、F2之间时取等号)．|PF1|＋|PA|＝2a－|PF2|＋|PA|≤2a＋|AF2|＝6＋2(当且仅当P、F2、A三点共线且点F2在点A、P之间时取等号)．研一研·题型解法、解题更高效∴|PF1|＋|PA|的最小值、最大值分别为6－2和6＋2.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)题型二求离心率的范围问题例3设P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，F1、F2是其左、右焦点．已知∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率的取值范围．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)解方法一根据椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a.①在△F1PF2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝12，即|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝|PF1||PF2|.②①式平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.③由②③得|PF1||PF2|＝4b23.④由①和④运用基本不等式，得|PF1||PF2|≤|PF1|＋|PF2|22，即4b23≤a2.由b2＝a2－c2，得43(a2－c2)≤a2，解得e＝ca≥12.又∵e1，∴该椭圆的离心率的取值范围是12，1.研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)方法二设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2处时，点P对两焦点的张角最大，故∠F1B2F2≥∠F1PF2＝60°，从而∠OB2F2≥30°.在Rt△OB2F2中，e＝ca＝sin∠OB2F2≥sin30°＝12.又∵e1，∴12≤e1.∴该椭圆的离心率的取值范围是12，1.研一研·题型解法、解题更高效小结在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)跟踪训练3椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点是F1(－c，0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，且F1M→·F2M→＝0，则离心率e的取值范围是__________．研一研·题型解法、解题更高效解析设点M的坐标为(x，y)，则F1M→＝(x＋c，y)，F2M→＝(x－c，y)．由F1M→·F2M→＝0，得x2－c2＋y2＝0.①本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)研一研·题型解法、解题更高效又由点M在椭圆上，得y2＝b2－b2x2a2，代入①，解得x2＝a2－a2b2c2.∵0≤x2≤a2，∴0≤a2－a2b2c2≤a2，即0≤2c2－a2c2≤1,0≤2－1e2≤1.∵e0，解得22≤e≤1.又∵e1，∴22≤e1.答案22，1本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．椭圆x225＋y29＝1上点P到右焦点的()A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1解析椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.D本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()A.15B.25C.55D.255D解析∵x－2y＋2＝0，∴y＝12x＋1，而bc＝12，即a2－c2c2＝12，∴a2c2＝54，ca＝255.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处3．设F1、F2为椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，PF1→·PF2→的值等于()A．0B．2C．4D．－2解析由题意，得c＝a2－b2＝3，又＝2＝2×12×|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，∴当h＝b＝1时，取最大值，此时∠F1PF2＝120°.D∴PF1→·PF2→＝|PF1→|·|PF2→|·cos120°＝2×2×－12＝－2.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．解析∵在△PF1F2中，由正弦定理，得PF2sin∠PF1F2＝PF1sin∠PF2F1，则由已知，得aPF2＝cPF1，即a·PF1＝c·PF2，则PF1＝caPF2.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a，则caPF2＋PF2＝2a，即PF2＝2a2c＋a.由椭圆的几何性质，知PF2a＋c，则2a2c＋aa＋c，即c2＋2ac－a20，∴e2＋2e－10，解得e－2－1或e2－1.又e∈(0,1)，故椭圆的离心率e∈(2－1,1)．答案(2－1,1)本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．解决椭圆的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．解决椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中的范围问题常用的关系有(1)－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)离心率0e1.本专题栏目开关试一试研一研练一练