数学：第一章 集合与函数概念 复习课件(新人教A版必修1)

章末归纳总结一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算．1．理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功．[例1](1)集合A＝{y|y＝x}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝________.(2)集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝________.[解析](1)集合A是函数y＝x的值域，∴A＝R，集合B是函数y＝x2的值域，∴B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{y|y≥0}．故填{y|y≥0}．(2)集合A是直线y＝x上的点的集合，集合B是抛物线y＝x2的图象上点的集合，∴A∩B是方程组y＝xy＝x2的解为坐标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果．[例2]集合A＝{x|x－1或x2}，B＝{x|4x＋p0}，若BA，则实数p的取值范围是________．[解析]B＝{x|x－p4}，∵BA，∴结合数轴可知－p4≤－1，∴p≥4.[例3]设全集U＝{a，b，c，d，e}，若A∩B＝{b}，(∁UA)∩B＝{d}，(∁UA)∩(∁UB)＝{a，e}，则下列结论中正确的为()A．c∈A且c∈BB．c∈A且c∉BC．c∉A且c∈BD．c∉A且c∉B[答案]B[解析]画出Venn图如图，依次据条件将元素填入，A∩B＝{b}，故b填在A与B公共部分，(∁UA)∩B＝{d}，故d填在A圈外，B圈内，又(∁UA)∩(∁UB)＝{a，e}，∴a，e填在A、B两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位置，故应填在A内B外，∴c∈A且c∉B，选B.3．含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别注意集合元素的互异性．[例4]集合A＝{a，ba，1}，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，则a2009＋b2010＝________.[解析]由条件知ba＝0a2＝1，或ba＝0a＋b＝1，∴a＝±1b＝0，但由互异性知，a≠1，∴a＝－1b＝0，∴a2009＋b2010＝－1.4．空集是任何集合的子集，解题时要特别注意．[例5]集合A＝{x|x2＋x＋a＝0}，B＝{－2,1}，若AB，则实数a的取值范围是________．[解析]①当Δ＝1－4a0，即a14时，A＝∅，满足AB；②当Δ＝0即a＝14时，A＝{－12}，不合题意．③当Δ0时，集合A中有两相异元素，故AB不可能成立，综上所述a14.5．新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么．[例6]A、B都是非空集合，定义A*B＝{x|x＝a·b＋a＋b，a∈A，b∈B且b∉A∩B}，若A＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的和为________．[解析]由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素x＝ab＋a＋b，∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.6．熟练掌握A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B及集合的运算是解决一些集合问题的基础．[例7](1)如果全集U＝{x|x2－5x－60，x∈N＋}，A＝{2,3}，B＝{1,3,5}，则∁U(A∪B)＝________，A∩∁UB＝________.(2)设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为()A．1B．－1C．1或－1D．1，－1或0[解析](1)∵U＝{x|(x－b)(x＋1)0，x∈N＋}＝{x|－1x6，x∈N＋}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,2,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{4}，A∩∁UB＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．故依次填{4}，{2}．(2)当a＝0时，B＝∅，A∩B＝B；当a≠0时，应有a＝1a，∴a＝±1.故选D.二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值及应用1．解决函数问题必须首先弄清函数的定义域[解析]由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为[0，＋∞)．[例1]函数f(x)＝x2＋4x的单调增区间为________．2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围”．[解析](1)∵0≤x≤1时，f(x)有意义，∴要使f(2x－1)有意义．须0≤2x－1≤1，∴12≤x≤1，故所求定义域为[12，1]．(2)∵0≤x≤1，∴2≤x＋2≤3，∴使f(x)有意义的x的允许取值范围是2≤x≤3，故所求定义域为[2,3]．[点评]注意上面的虚线箭头，(1)中前面的x与后面的2x－1取值范围相同，都是[0,1]，(2)中前面的x＋2与后面的x的取值范围相同，而x＋2中的“x”允许取值范围是[0,1]．3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数和y＝等的图象特征．熟练判断函数的单调性、奇偶性，了解常见对称特征和平移．(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称；(3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称；(4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；(5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(6)将y＝f(x)的图象上各点向右(左)平移a(a0)个单位，可以得到函数y＝f(x－a)(y＝f(x＋a))的图象．将y＝f(x)的图象上各点向上(下)平移a(a0)个单位，可以得到y＝f(x)＋a(或y＝f(x)－a)的图象．(7)y＝|f(x)|的图象可由y＝f(x)的图象位于x轴及上方的部分不变，下方图象作关于x轴的对称翻折而得到．y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x)图象相同，而y＝f(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图形即可．[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．[分析]第(1)问，将a＝－1代入，根据二次函数的图象得出结论；第(2)问，根据二次函数的对称轴的位置确定单调性．[解析](1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∵f(x)的对称轴为x＝1.∴x＝1时，f(x)取最小值1；x＝－5时，f(x)取最大值37.(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，∵f(x)在[－5,5]上是单调函数．∴－a≤－5，或－a≥5，即a≤－5，或a≥5.三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问题的思维习惯1．数形结合的思想[例1]设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)证明f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．[解析](1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0，时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示即f(x)＝(x－1)2－2，x≥0，(x＋1)2－2，x0.函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1，0)，[1,3]上为增函数．(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.当x0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2；故函数f(x)的值域为[－2,2]．[例2]已知关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．[解析]设y1＝x2－4|x|＋5，y2＝m，由于y1＝x2－4|x|＋5为偶函数，画出x≥0的图象，再由对称性可画出x0时的图象，由图可见1m5时方程有4个根．∴1m5.[例3]f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(4)＝0，则xf(x)0的解集为()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4,0)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(0,4)D．(－4,0)∪(4，＋∞)[解析]作出示意图如图，xf(x)0⇔x0f(x)0或x0f(x)0，∴x4或－4x0.故选D.[例4]函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]画出y＝a|x|与y＝x＋a的图象．情形1：a0a1⇒a1情形2：a0a－1⇒a－1.故选D.2．函数与方程的思想函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题要特别注意掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)(※)的根的分布情况可以用(1)判别式(Δ＝b2－4ac)与韦达定理(x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca)或(2)构造函数(f(x)＝ax2＋bx＋c)结合图象和求根公式两种思路来讨论．①方程(※)有两不等实根⇔Δ0，方程(※)有两相等实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ0，方程(※)有实数解⇔Δ≥0.②方程(※)有零根⇔c＝0.③方程(※)有两正根⇔Δ≥0x1＋x20x1x20⇔较小的根x＝－b－Δ2a0(a0)⇔－b2a0f(0)0Δ≥0.④方程(※)有两负根⇔Δ≥0x1＋x20x1x20⇔较大的根x＝－b＋Δ2a0⇔－b2a0f(0)0Δ≥0.⑤方程(※)有一正一负两实根⇔Δ0x1x20⇔f(0)0.方程(※)有一正一负两实根且正根绝对值较大⇔Δ0x1x20x1＋x20⇔f(0)0－b2a0.方程(※)有一正一负两实根且负根绝对值较大⇔Δ0x1x20x1＋x20⇔f(0)0－b2a0.⑥方程(※)的两根都在区间A＝[m，n]内(A是其它区间时类似讨论)⇔m≤－b2a≤nΔ≥0f(m)≥0f(n)≥0.方程(※)有且仅有一个实根在区间A＝[m，n]内⇔f(m)·f(n)0.方程(※)两根x1，x2满足mx1nx2⇔f(m)0f(n)0，一元二次方程根的分布比较复杂，以上仅列出了一些常见情形，只要抓住根的判别式、韦达定理、根的表达式和相应函数的图象，进行综合考察，总能顺利解决．方程(※)两根都在区间A＝[m，n]外⇔Δ≥0－b2amf(m)0或Δ≥0－b2anf(n)0.[例5]若函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)－2f(－x)＝3x，则f(x)必为()A．奇函数而不是偶函数B．偶函数而不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数[解析]∵f(x)－2f(－x)＝3x对任意x∈R成立，∴f(－x)－2f(x)＝－3x，解得f(x)＝x.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)必为奇函数．故选A.[点评]将关于函数f(x)的关系式f(x)－2f(－x)视作关于f(x)与f(－x)的“二元一次方程”，利用恒成立，再构造一个“二元一次