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立体几何初步1．1空间几何体1．1.3中心投影和平行投影古人有诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这首诗告诉我们，要注意从不同角度观察事物，下面的三个图形是从不同方向观察某一物体的形象，你能分析出它代表什么吗？分析的依据是什么？1．由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做________，其中光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做________．2．____________的投影称为中心投影，或看作由点光源照射形成的投影；____________的投影称为平行投影，或看作由平行光照射形成的投影．1．投影投影面2．投影线交于一点投影线相互平行3．平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为____和____两种；两种投影的区别在于①平行投影的投影线_____、中心投影的投影线_____；②同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构；_____形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，______形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．4．平行投影的主要性质有(1)直线或线段的平行投影是________或________；(2)平行直线的平行投影是平行或重叠的________；(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一条直线或平行直线上的两条线段的投影平行且投影比________这两条线段之比．3．斜投影正投影互相平行交于一点中心投影平行投影4．直线线段直线平行等长全等等于5．视图是指将物体按_______所得到的图形；光线自物体由前向后投射所得投影称为______；光线自物体由上向下投射所得投影称为______；光线自物体由左向右投射所得投影称为________．几何体的正视图、左视图、俯视图统称为几何体的________．6．长方体的三视图______，正方体的三视图都是____(有一面正对观察者)；直立圆锥的主视图与左视图________，俯视图是______；直立圆柱的主视图与左视图________，俯视图是________；圆台的主视图与左视图________，俯视图是________；球的三视图________．5．正投影向投影面投射主视图或正视图俯视图左视图三视图6．都是矩形正方形都是等腰三角形圆都是矩形圆都是等腰梯形两个同心圆都是圆7．三视图画法规则是①高平齐即____________;②长对正即_____________________；③宽相等即______________；画几何体的三视图时，看见的线画成______，被遮住看不见的线要画成_____．主视图与左视图的高要保持平齐主视图与俯视图的长应对正俯视图与左视图的宽度应相等实线虚线投影的分类与区别投影分为中心投影和平行投影两种．两种投影的区别在于1.平行投影的投影线互相平行、中心投影的投影线交于一点．2.同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构：中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体、平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．平行投影的性质1.直线或线段的平行投影是直线或线段；2.平行直线的平行投影是平行或重叠的直线；3.平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；4.与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；5.在同一直线或平行线上的两条线段的投影平行且投影比等于这两条线段之比．三视图1.几何体的主视图、左视图、俯视图统称为几何体的三视图；2.三视图画法规则是：高平齐(即主视图与左视图的高要保持平齐)、长对正(即主视图与俯视图的长应对正)、宽相等(即俯视图与左视图的宽度应相等)．中心投影与平行投影给出下列命题：①正方体的三视图都是正方形；②球的三视图都是圆；③正方体的平行投影一定是菱形；④平行四边形的平行投影可以是正方形；⑤当物体与投影面的相应位置固定不变时，投影大小与投射中心与物体的距离间存在一种“反比例”的关系，即距离越远，投影越小，距离越近，投影越大；⑥正投影一个平面图形时，投影的大小与原图形的大小一样；⑦梯形的平行投影还是梯形；⑧正三角形的平行投影可以是直角三角形；⑨当三角形的平行投影仍为三角形时，则三角形的中位线还是投影三角形的中位线．以上所有正确命题的序号为____________．(要求把正确命题的序号都填上)分析：本题是一道有关基本概念与基础知识的选填题．求解时，必须准确理解诸如三视图、投影等概念，在投影中还要理解平行投影与中心投影的区别，正投影与斜投影的异同．解析：三视图取决于观察视角的正面．当正面不是正方体的某个表面时，所画的三视图中可能含有非正方形的视图，因而命题①是错误的．但由于球的特殊性，从任意角度看都是圆的形状，因而无论以何角度作为观察的正面．其各种视图均为圆，因而②是正确命题．对于平行投影，投影与物体的形状问题，取决于投射线以及物体与投影面的相对位置，因而命题③⑥均是错误的，而命题④⑧是正确的．对于中心投影，投射中心与物体的距离越远时，投射线越接近于平行线，因而投影越接近于实物的大小；而当投射中心与物体的距离越近时，投射线发散的角度越大，因而投影越大，故命题⑤是正确的命题．由于两平行线的投影不一定平行或为同一条直线，所以在同一平面内的两条不平行的直线的投影一定不是平行直线，故命题⑦⑨为正确命题．综上所述，本题的正确命题的序号为：②④⑤⑦⑧⑨.方法点拨：任何新知识的学习，首先离不开对概念的理解与掌握．概念，即定义，是一切知识的基础，学习时务必首先理解概念，在真正理解并弄通概念的内涵与外延的基础上，再进行后继知识的学习，这样所学的知识才比较扎实且牢固．一个投影的大小取决于物体与投影面的相对位置，也取决于投射线的方向．例如当一个物体(视作为一个平面时)与投影面垂直时，这时若用正投影则投影只可能为一条线段(或直线)．审题时，必须弄清“一定”“可以”“都”等关键词语．如命题③改为：正方形的平行投影可以是菱形，命题①改为：正方形的三视图可为正方形，则它们都是正确命题．变式训练1．画出正方体的中心投影图(投影点在正面)．分析：中心投影是一个点光源把图形投影的结果，因此，要找好点光源所对应的点．解析：如下图所示为正方体的中心投影图．简单几何体的三视图画出下图所示组合体的三视图．分析：这是一个轴承架的模型(有轴承孔)，它由两个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱(形成圆孔)．它的视图是轴对称图形，轴承架上的圆孔，在主视图和俯视图中为不可见轮廓线，用虚线画出．答案：它的三视图如下图．方法点拨：在绘制三视图时，应注意：不可见轮廓线用虚线画出，例如上图中的虚线．变式训练2．四个正方体放置成如下图所示的形状，其中涂色部分为我们观察的正面．画出该物体的三视图．分析：根据三视图的作图规则来进行画图．解析：如下图．由三视图还原成实物图根据下图所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．分析：由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．解析：上图所给出的实物如下图所示．规律总结：(1)由三视图画立体图是培养我们立体感的又一方法，做题时，要认真想象立体图的样子，再仔细分析三视图．(2)想象力的培养与多观察实物相结合是解决此类题目的关键．基础巩固中心投影与平行投影1．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有________．解析：由投影的相关知识知，四个命题均正确．答案：①②③④能力升级几何体的投影与三视图的综合理解9．下列实例中，不是中心投影的是________．①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．解析：由中心投影和平行投影的定义知，小孔成像，相片，人的视觉为中心投影，工程图纸为平行投影．答案：①