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1．2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质【课标要求】1．了解公理1、公理2、公理3及其推论1、推论2、推论3.2．能用公理1、2、3及其推论解决三线共点、三点共线及点线共面问题．【核心扫描】1．公理1、公理2、公理3及其推论1、推论2、推论3的了解．(重点)2．能用公理1、2、3及其推论解决三线共点、三点共线及点线共面问题．(难点)自学导引1．平面的概念平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图所示的平面可表示为或平面或平面AC或平面.平面αABCDBD2．点、线、面位置关系的符号表示位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点M在平面AC上M∈平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC同理，点P不在直线AB上，记作P∉AB；点M不在平面AC上，记作M∉平面AC；直线AB不在平面AC内，记作AB⊄平面AC.3．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：A∈αB∈α⇒AB⊂α.(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．两点其他公共点用符号表示为：P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l.(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，一个平面．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．4．平面的基本性质的推论(1)推论1经过，有且只有一个平面．(2)推论2经过，有且只有一个平面．(3)推论3经过，有且只有一个平面．有且只有一条直线和这条直线外的一点两条相交直线两条平行直线试一试：在立体几何中如何直接应用平面几何中的有关定理解题或证题．提示将有关元素化归到一个平面内，才可以用平面几何中有关定理解题或证题．如果不能化归到一个平面内，则平面几何中有关定理或不成立，或成立但也不能直接应用，必须先给出证明再使用．名师点睛1．证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内．2．证明空间的若干个点和若干条直线都在同一平面内的问题称作共面问题，共面问题的证明，一般先确定平面，然后再证明元素在这个确定的平面内，确定平面时，确定平面的元素必须满足公理3或其三个推论的条件，证明元素在平面内，常依据公理1或用反证法或用平面重合的方法．3．证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点．4．证明线共点的方法：先由某两条直线或某几条直线共点，然后再证余下的直线过此点.题型一共面问题的证明【例1】求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．[思路探索]证明时可以先用推论2，通过两条相交直线确定一个平面，再用公理1证明其他直线也在这个平面内．解已知：四条直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点．求证：a、b、c、d共面．(1)若a、b、c、d四条直线中有三条共点，不妨设a∩b∩c＝A，a∩d＝B，b∩d＝C，c∩d＝D，且相交直线a、d所确定的平面为α，图像如图所示．∵A∈a，a⊂α，∴A∈α，∵C∈d，d⊂α，∴C∈α.∴AC⊂α，即b⊂α.同理，c⊂α.∴a、b、c、d共面于α.(2)若a、b、c、d四直线无三条直线共点，设a∩b＝A，a∩c＝B，b∩c＝C，d∩a＝D，d∩b＝E，d∩c＝F，且相交直线a、b确定的平面为α，图像如图所示．∵B∈a，a⊂α，∴B∈α，同理C∈α.∴BC⊂α，即c⊂α，同理d⊂α.∴a、b、c、d共面于α.综合(1)(2)可知，a、b、c、d四线共面．规律方法证明多线共面的一种方法是先由公理3确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．【训练1】已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．解析已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a、b、c、l共面．如图：∵a∥b，∴a、b确定平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A、B在α内．即直线l⊂a，∴a、b、l共面．同理，a、c、l共面，即c也在a、l确定的平面内．故a、b、c、l共面．题型二点共线问题的证明【例2】如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R在同一条直线上．[思路探索]本题主要考查三点共线的证明，关键是证明这三个点都是两个已知平面的公共点．由已知条件，可取平面ABC和平面α，只需证P、Q、R是这两个平面的公共点即可．证明由已知AB的延长线交平面α于点P，根据公理2，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又直线AB∩平面α＝P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC与平面α的公共点．∵平面ABC∩平面α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴点P、Q、R在同一条直线上．规律方法证明点共线常有两种思路：一是过其中两点作一条直线，然后证明其余的点都在这条直线上；二是由已知条件设法证明这些点在两个平面的交线上．【训练2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D与平面ACD1交于点O，BD与平面ACD1交于点M，求证：M、O、D1三点共线．证明连接MD1，易知MD1是平面ACD1和平面BB1D1D的交线，∵O∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，∴O∈平面BB1D1D.又O∈平面ACD1，∴O∈MD1.∴M、O、D1三点共线．题型三线共点问题的证明【例3】在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．审题指导本题主要考查线共点的证明，证明的关键是证明点在第三条直线上，只需证明这个点是确定这条直线的两个相交平面的公共点．[规范解答]因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC，GE＝12AC.(2分)又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，FH＝25AC.(4分)从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面．(6分)所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.(8分)又GE＝FH.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，(10分)所以O在这两个平面的交线上．(12分)而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．(14分)【题后反思】证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上．此外还可先将其中一条直线看作是某两个平面的交线．证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得三线共点．【训练3】三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．解已知：如图，平面α、β、γ满足α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A.求证：A∈c.证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b.又α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂γ，∴A∈α，A∈γ.∵α∩γ＝c，∴A∈c.方法技巧“有且只有一个平面”命题的证明方法(1)“有”表示存在，“只有”表示唯一，“且”表示联立命题，所以此类问题的证明既要证明“存在性”又要证明“唯一性”．(2)“存在性”的证明一般由公理或推论作出题设要求的要素即可．(3)证明“唯一性”通常采用“反证法”．即从题设的结论入手，反设结论的反面成立，然后进行推理、论证，推出与条件或定义、定理、公理相矛盾的结论，说明结论反面是不成立的，从而肯定了命题的结论是成立的．【示例】如图，已知直线a∥直线b，直线m与a、b分别交于点A、B.求证：过a、b、m有且只有一个平面．[思路分析]证明过a、b、m三条直线有且只有一个平面，要证两个问题：其一是存在性，即“有”；其二是唯一性，即“只有”．证明∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α，a、b、m共面于α.假设过a、b、m有一个异于α的平面β，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β.这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．∴过a、b、m有且只有一个平面．方法点评证明唯一性通常用“反证法”.