高中数学2-3-3直线与圆之间的位置关系课件新人教B版必修

一．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：如图所示.（1）直线与圆相交：有两个公共点；（2）直线与圆相切：有一个公共点；（3）直线与圆相离：没有公共点.2.3.3直线与圆的位置关系二．直线与圆的位置关系的判定如果直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.则直线与圆的位置关系的判定有两种方法：（1）代数法判断直线与圆的位置关系：如果直线l和圆C有公共点，由于公共点同时在直线l和圆C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之如果这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是直线l和圆C的公共点.由l和C的方程联立方程组2200AxByCxyDxEyF可以用消元法将方程组转化为一个关于x（或y）的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根（△0），则直线与圆相交；若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切；若方程无实数根（△0），则直线与圆相离.（2）几何法判断直线与圆的位置关系：如果直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，(x－a)2+(y－b)2=r2.可以用圆心C(a，b)到直线的距离d=22||AaBbCAB与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系。若dr时，直线l和圆C相交；若d=r时，直线l和圆C相切；若dr时，直线l和圆C相离.例1．已知圆的方程是x2+y2=2，直线方程是y=x+b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解法1：所求曲线公共点问题可以转化为b为何值时，方程组222xyyxb有两组不同的实数解？有两组相同的实数解？无实数解的问题。②代入①，整理得2x2+2bx+b2－2=0，③方程③的判别式△=(2b)2－4×2(b－2)=－4(b+2)(b－2)，当－2b2时，△0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b=2或b=－2时，△=0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点；当b－2或b2时，△0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点；解法2：圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题，可以转化为b为何值时，圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题。圆的半径r=，圆心(0，0)到直线y=x+b的距离为，2||2bd当dr时，即－2b2时，圆与直线相交，有两个公共点；当d=r时，即b=2或b=－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；当dr时，即b－2或b2时，圆与直线相离，直线与圆没有公共点。例2．已知圆的方程是x2+y2=r2，求过圆上一点M(x0，y0)的切线方程。解：如果x0≠0且y0≠0，则直线OM的方程为y=，从而过M点的圆的切线的斜率为，00yxx00xy因此所求的圆的切线方程为0000()xyyxxy化简得x0x+y0y=x02+y02.因为点(x0，y0)在圆上，所以x02+y02=r2.所以过圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.如果x0=0，或y0=0，我们容易验证，过点M(x0，y0)的切线方程也可以表示为x0x+y0y=r2的形式。因此，所求的切线方程为x0x+y0y=r2.三.圆的切线的求法：直线与圆相切，切线的求法：（1）当点(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，切线方程为x0x+y0y=r2；（2）若点(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2；（3）斜率为k且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为；21ykxrk斜率为k且与圆(x－a)2+(y－b)2=r2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m，然后变成一般式kx－y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m；（4）点(x0，y0)在圆外面，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k.注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上四．直线与圆相交的弦长公式平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长即为直线l与圆相交的弦长.设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有222()2ABdr即AB=222rddrBAO例3．直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为4，求l的方程.5解：设|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2，215所以|OH|=22||||5OAAH即2|5(1)|51kk解得k=，或k=2，21所以直线l的方程为x－2y+5=0，或2x－y－5=0.|OH|=22||||5OAAH练习题：1．直线x+y=m与圆x2+y2=m(m0)相切，则m=（）（A）（B）（C）（D）221222D2．曲线与直线y=k(x－2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）214yx5(0,)125(,)1213(,]3453(,]124D3．圆心为(1，－2)、半径为2的圆在x轴上截得的弦长为（）（A）8（B）6（C）6（D）4523A4．直线x+y=1被圆x2+y2－2x－2y－7=0所截得线段的中点是（）（A）（B）(0，0)（C）（D）13(,)4431(,)4411(,)22A5．以点P(－4，3)为圆心的圆与直线2x+y－5=0相离，则圆P的半径r的取值范围是（）（A）(0，2)（B）(0，)（C）(0，2)（D）(0，10)55C6．已知曲线5x2－y2+5=0与直线2x－y+m=0无交点，则m的取值范围是.－1m17．由点P(1，－2)向圆x2+y2+2x－2y－2=0引的切线方程是.5x+12y+19=0和x=18．已知圆C：(x－1)2+(y－2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0，证明不论m为何值，C与l恒有两个交点.