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4.2直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用圆与方程正确理解直线与圆的概念，能由直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．基础梳理1．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：练习1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示圆心在______．半径为________上的圆．练习2.y＝表示圆心在__________，半径为________的半圆．练习3.y＝b－表示圆心在________，半径为________的下半圆．练习1.(a，b)r练习2.(0,0)1练习3.(a，b)r1－x2r2－x－a2思考应用用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？解析：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系．自测自评1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线x＋y＝0上，故关于直线x＋y＝0对称．答案：D2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()A．0或2B．2C.D．无解2解析：圆心(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝＝，m＝2.答案：B|m|2＝m3.一直线经过点P-3,-被圆x2+y2=25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程.23直线与圆方程的实际应用某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正东300km处，以40km/h的速度向西偏北30°方向移动，据测定，距台风中心250km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间(精确到分钟)．分析：注意到受台风影响的范围是一个圆，受台风影响的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定，故只要建立适当的坐标系，求出风向及圆形区域圆方程，然后利用弦长公式即可解决．解析：以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y＝－(x－300)(x≤300)．33该市受台风影响时，台风中心在圆x2＋y2＝2502内，设射线与圆交于C、D，则|CA|＝|AD|＝250，所以台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则|AH|＝|AB|·sin30°＝150，|HB|＝150，|CH|＝|HD|＝＝200，∴|BC|＝150－200，则该市受台风影响的起始时间t1＝＝1.5(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2＝＝10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10小时．3|AC|2－|AH|231503－20040200＋20040点评：(1)要建立适当的坐标系，建系决定了运算的繁简程度．因此，如何将实际问题转化为数学问题，如何建立适当的数学模型是解题的关键．(2)本题亦可直接求出弦长|CD|＝400，则t＝＝10，即为台风对该市的持续影响时间．40040跟踪训练1．台风中心从A地的每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险地区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时解析：建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为＝1(小时)．答案：B2020直线与圆的方程在平面几何中的应用如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E、F，且EF与CD相交于H.求证：EF平分CD.解析：以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．如图，设|AB|＝2r，D(a,0)，则|CD|＝r2－a2，∴C(a，r2－a2)，∴圆O：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－r2－a2)2＝r2－a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2r2－a2y＝r2＋a2.令x＝a，得y＝12r2－a2，∴Ha，12r2－a2，即H为CD中点，∴EF平分CD.点评：利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质．建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释．跟踪训练2．如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，BC的延长线交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．解析：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．涉及圆的最值问题(多解题)在直线2x＋y＋3＝0上求一点P，使P向圆x2＋y2－4x＝0所引得的切线长为最短．解析：解法一：(代数法)圆化简为(x－2)2＋y2＝4，切线长最短，即点P到圆心的距离最短，设圆心为O，P(x0，y0)，则|PO|2＝(x0－2)2＋y20＝(x0－2)2＋(2x0＋3)2＝5x20＋8x0＋13，∴当x0＝－时，|PO|2最小．此时切线最短，y0＝－，∴P点的坐标为.4575－45，－75解法二：(几何法)由题意知过圆心作直线的垂线l，从垂足所引的圆的切线最短．垂线l所在直线的斜率为，又过圆心(2,0)，∴垂线l的方程为y＝(x－2)，即x－2y－2＝0.点评：充分利用式子的几何意义，可以减少运算量．1212由2x＋y＋3＝0，x－2y－2＝0，解得x＝－45，y＝－75.∴P－45，－75.跟踪训练3．已知x，y是实数，且x2＋y2－4x－6y＋12＝0，求(1)的最值；(2)x2＋y2的最值；(3)x＋y的最值；(4)x－y的最值．yx解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1表示以点C(2,3)为圆心，1为半径的圆．(1)表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k.故当y＝kx为圆C的切线时，k可取得最值．yx∵|2k－3|1＋k2＝1，∴k＝2±233.∴yx的最大值为2＋233，最小值为2－233.(2)设x2＋y2表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0,0)连接的线段长的平方，故由平面几何知识，知P为直线OC与圆C的两交点P1，P2时，OP12与OP22分别为OP2的最大值、最小值．∴x2＋y2的最大值为(22＋32＋1)2＝14＋213，最小值为(22＋32－1)2＝14－213.(3)令x＋y＝m，当直线l：x＋y＝m与圆C相切时，l在y轴上截距m取得最值．∵|2＋3－m|2＝1，∴m＝5±2，∴x＋y的最大值为5＋2，最小值为5－2.(4)令x－y＝n，当直线l′：x－y＝n与圆C相切时，l′在y轴上截距的相反数n取得最值．∵|2－3－n|2＝1，∴n＝－1±2，∴x－y的最大值为－1＋2，最小值为－1－2.1．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于()A．1或－19B．10或－10C．－1或－19D．－1或19解析：圆方程为(x－3)2＋y2＝22，∵圆与直线相切，∴圆心到切线距离等于半径∴＝2，∴k＝1或－19.答案：A|9＋k|52．如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是()34yxA.12B.33C.32D.3解析：的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，结合图形得，斜率的最大值为，∴()max＝.答案：D3yx31．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何问题．2．直线和圆在现实生活中的应用，主要包括两大块，一块是直线和圆的直接应用，它涉及质量、重心、气象预报、购物选址等问题；二是直线和圆的方程形式，可以使我们更好地了解近代数学的发展．