搜索
四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第1页共33页专题一将军饮马背景故事唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第2页共33页模型总结类型图解总结将军饮马一般思路：化折为直步骤：①做对称（动点所在的直线为对称轴）②对称点（用定点做对称）③连线段（对称点与未对称点的连线即为最小值）选址造桥一般思路：先去定长步骤：①利用平行四边形性质“消掉”定长②再结合将军饮马变形，最后转化成两点之间，线段最短求解四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第3页共33页例题探究【例1】如图，点P是AOB内任意一点，5OPcm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是【例2】如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且1BE，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第4页共33页【例3】如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为【例4】如图，在矩形ABCD中，AB=6，MN在边AB上运动，MN=3，AP=2，BQ=5，则PM+MN+NQ的最小值是【例5】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D为AB的中点，E为CD上的点，且CE=2DE，PQ为AB上的动线段，PQ=1，F为AC上的动点，连接EQ、FP，则EQ+FP的最小值为__________。四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第5页共33页综合实践【练1】如图，30AOB，点M、N分别在边OA、OB上，且1OM，3ON，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是．【练2】在锐角三角形ABC中，42BC，45ABC，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CMMN的最小值是．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第6页共33页【练3】如图，A（2，1），B（6，3），动点M，N在一次函数y=x上，且MN=2，当M的坐标为何值时，AM+MN+NB取得最小值，最小值是．M是．【练4】如图所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分别为AB、AD的中点，MN和PQ分别是边BC、CD上的线段，MN=PQ=1，依次连接EM、NP、QF、EF，则六边形EMNPQF周长的最小值为．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第7页共33页【探究1】如图3.17所示，3sin5O=，长度为2的线段DE在射线OA上滑动，点C在射线OB上，且OC＝5，则△CDE周长的最小值为【探究2】如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E、F分别为AD、BC上的动点，且EF⊥AC，连接AF、CE，则AF+CE的最小值为四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第8页共33页专题二胡不归背景故事从前，一个身在他乡的年轻人，得知其父病危的消息后，由于归乡心切，他选择了直线路程。便日夜兼程赶路回家。然而，当他气喘吁吁回到父亲面前时，老人刚刚咽气。周围的人告诉他，在弥留之际，老人在不断的叨念：“胡不归？胡不归？.......”（意为：为什么还不回来？）。这个古老的传说引起人们的思索，年轻人是否有可能提前归家，假若有，应该选择一条怎样的路线回家？这就是风靡上千年的“胡不归”问题。从A地到B地，年轻人选择了线段AB，路程较近。行驶速度为v1,AC是一条驿道，行驶速度为v2，靠目的地的一侧全是沙地。v1＜v2.年轻人只考虑路程的远近，而忽略了，虽然路程近，但速度慢，如果选择先走一段驿道，再走沙土地，路程虽然远一些。但在驿道上的行驶速度快。如果路线选择恰当，是可以提前到达的。四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第9页共33页模型总结类型图解胡不归分析分析：已知沙地行驶速度为：v1，驿道行驶速度为:v2且v2＞v1AD=v2t，DE=v1t，1122sinvtvDEADvtva===同一时间里，在驿道上行驶AD的长度等同于在沙地里行驶DE的长度，如图，当行驶到C点时，相当于在沙地行驶CF的路程，同在沙地对比：AB＞BF，所以有更短时间的回家路线总结问题预设：求sinBDADa+的最小值。问题解答：∵sin=ADDEa∴sinBDADa+=BDDE+∴当B,D,E三点共线时，sinBDADa+min=BF四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第10页共33页例题探究【例1】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一动点，则BDCD55的最小值是。【例2】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值为。四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第11页共33页综合实践【练1】如图所示，点C的坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），点B为x轴上的动点，那么CB+55AB的最小值为．【练2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（0，22），C是线段OB上的动点，则3AC+BC的最小值为，此时点C的坐标为．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第12页共33页【练3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第13页共33页【练4】在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第14页共33页专题三阿波罗尼斯圆背景故事阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足PAkPB=且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第15页共33页模型总结类型图解阿氏圆分析分析：已知P点的运动轨迹是一个定圆，以O为圆心，OP为半径P点运动过程中，OP,OA为定值，OPmOA=在OC上截取一点B，使OBmOP=∠AOP=∠POA则△BOP∽△OPA即PBmAP=总结问题预设：求PQmPA+的最小值。问题解答：∵PBmAP=，PBmAP=∴PQmPA+=PQPB+∴当Q,P,B三点共线时，PQmPA+min=BQ四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第16页共33页例题探究【例1】圆O的半径为3，A（0，6），B（8，0），P是圆上一个动点，求12PBPA+的最小值。【例2】如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是△ABC内一动点，且满足CD=2，连接BD，AD。则12ADBD+的最小值为。四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第17页共33页【例3】如图所示，点C的坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为10，点B是在⊙C上一动点，OB+55AB的最小值为．【例4】如图所示，在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM，连接DF、CF，则DF+12CF的最小值为．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第18页共33页综合实践【练1】已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，则12APBP的最小值为．【练2】已知⊙O半径为2，AC、BD为切线，AC=2，BD=4，P为弧AB上一动点，试求22PCPD的最小值．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第19页共33页【练3】如图，△ABC中，∠ACB=45°，AC=8，BC=62，D是平面内一点，且CD=4，则12AD+BD的最小值为．【练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，CA＝9，⊙C半径为3，P为⊙C上一动点，连结AP，BP，则13AP＋BP的最小值为．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第20页共33页【练5】如图，在Rt△ABC中，CB＝4，CA＝5，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP＋12BP的最小值为__________．【练6】如图，正方形ABCD边长为22，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+22PD的最小值为______．【练7】如图，等边三角形ABC边长为43，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋12CP的最小值为______________．四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第21页共33页【练8】如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋12PN的最小值为_______________【练9】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，则2PA+PB的最小值为_______________四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第22页共33页专题四瓜豆原理（旋转相似）背景故事古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．瓜豆原理是以手拉手几何模型为背景，众多名校模考常考的一类动点问题，也是由动态手拉手产生的轨迹问题。主动点运动轨迹与从动点运动轨迹相似，解决此类问题时，只要能快速准确找出从动点轨迹，问题基本就解决了。四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第23页共33页模型总结类型图解引例问题：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析∵AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．∴Q点的运动轨迹是以M为圆心，OP长为半径的圆总结主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）四季教育-2020年专题班-冲击名校深圳宝安校区第24页共33页轨迹探究【1】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，画出Q点的轨迹。【2】如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2