巧用累加式和累乘式解数列高考题

巧用累加式和累乘式解数列高考题湖北省广水市一中刘才华432700数列中有两个常见的重要恒等式，累加式：121()naaaa3(a2)a(na1)na和累乘式：321121nnnaaaaaaaa.运用它们可以求数列通项和证明数列与不等式的综合题.本文就这两个恒等式在解高考题中的应用举几例，算作是抛砖引玉.一、累加式：121()naaaa＋32()aa(na1)na1.1求数列通项例1（2003年高考全国卷文科第22题）已知数列{}na满足11a，113nnnaa（n≥2）.（1）求23,aa；（2）求证：312nna.解（1）∵113nnnaa，11a，∴2134aa，232313aa.（2）∵113nnnaa，∴113nnnaa（n≥2）.∴121321()()()nnnaaaaaaaa=211333n=1(13)13n=312n.1.2证明数列不等式例2（2005年高考湖北卷理科第22题（Ⅰ））已知不等式12131n21[log]2n,其中n为大于2的整数，2[log]n表示不超过2logn的最大整数.设数列{}na各项为正，且满足1(0)abb，na≤11nnnana，2,3,4,.n证明：22,3,4,5,2[log]nbanbn.证明∵na≤11nnnana，2,3,4,.n又0na，∴1na≥11nnnana，即1na≥111nan.设nb=1na，则111nnba，∴1nnbb≥1n（n≥2）.∴1213()(nbbbbb21)()nnbbb≥1b11123n.又1111bab，且11123n21[log]2n（n≥3）;∴211[log]2nbnb，即1na211[log]2nb.∴na2111[log]2nb222[log]bbn.即na222[log]bbn（n≥3）.二、累乘式：321121nnnaaaaaaaa2.1求数列通项例3（2000年高考全国卷理科第15题）{}na是首项为1的正项数列，且21(1)nna2nna10nnaa（1,2,3,n）,则它的通项公式为________.解∵2211(1)0nnnnnanaaa，∴11()[(1)]0nnnnaanana.∵0na，∴10nnaa.∴1(1)0nnnana，即1(1)nnnana.∴11nnanan，即11nnanan（n≥2）.∴321121nnnaaaaaaaa=121123nn=1n（n≥2）.又11a也满足上式，∴{}na的通项公式为1nan.2.2证明数列不等式例4（2005年高考辽宁理科卷19题（I））已知函数3()1xfxx(1).x设数列{}na满足11a，1()nnafa，数列{}nb满足nb|3|na.证明：nb≤1(31)2nn.证明∵3()(1)1xfxxx，又1()nnafa，∴131nnnaaa，∴13331nnnaaa.即13na(13)3(13)1nnaa.∴1(31)|3||3||1|nnnaaa.又|3|nnba，∴1(31)|1|nnnbba.∴131|1|nnnbba.又∵11a，131nnnaaa=211na，∴na≥1.∴131|1|nnnbba≤312.∴1nnbb≤312（n≥2）.∴321121nnnbbbbbbbb≤1b1313131222n个1131()2nb.又∴11|3|31ba；∴nb≤131(31)()2n，即nb≤1(31)2nn.例5(2005高考重庆卷第22题)数列{}na满足11a，且1na21(1)nann12n（n≥1）.(Ⅰ)用数学归纳法证明：na≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1)xx对0x成立，证明：2nae（n≥1），其中无理数2.71828.e证明(Ⅰ)（略）(Ⅱ)∵由(Ⅰ)na≥2（n≥2），且11a，∴1211(1)2nnnaann211(1)2nnann，∴1nnaa21112nnn.∴1lnnnaa211ln(1)2nnn.由不等式ln(1)xx对0x成立，∴221111ln(1)22nnnnnn.∴1lnnnaa11(1)2nnn，即1lnnnaa11112nnn，∴1nnaa11112nnne，则1nnaa111112nnne（n≥2）,∴321121nnnaaaaaaaa2111111111123122221nnneee,∴na2111111111(1)()()()2231222nnne111(1)(1)2nne111222nnee（n≥2）.又1a=12e,∴2nae（n≥1）.