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操作探究型问题第41讲┃操作探究型问题操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证．常见类型：(1)操作设计问题；(2)图形剪拼；(3)操作探究；(4)数学建模．解题策略：运用观察，操作，联想，推理，概括等多种方法．第41讲┃操作探究型问题例1[2013·北京]阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图41－1①所示，在边长为a(a2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．探究一折叠剪拼操作探究型问题图41－1第41讲┃操作探究型问题小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图41－1②)．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为________；(2)求正方形MNPQ的面积；a第41讲┃操作探究型问题(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图41－2，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ＝33，则AD的长为________．图41－2第41讲┃操作探究型问题例题分层分析(1)△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试．(2)要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积．(3)依图41－1②的作法补全图41－2，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！第41讲┃操作探究型问题解题方法点析此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．第41讲┃操作探究型问题(2)四个等腰直角三角形面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝4×12×12＝2.(3)23.第41讲┃操作探究型问题提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“尖角三角形”，如下图．这样，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！第41讲┃操作探究型问题例2[2013·陕西]问题探究(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．探究二中心对称操作探究问题图41－3第41讲┃操作探究型问题问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．第41讲┃操作探究型问题例题分层分析(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？(2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M，要求其中一条直线必须过点M，如何分割呢？(3)把正方形改为菱形呢？解题方法点析平行四边形，矩形，菱形都是中心对称图形．过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．第41讲┃操作探究型问题(1)如图所示．(2)如图，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分．理由如下：解第41讲┃操作探究型问题∵点O是正方形ABCD的对称中心，∴AP＝CQ，EB＝DF.在△AOP和△EOB中，∵∠AOP＝90°－∠AOE，∠BOE＝90°－∠AOE，∴∠AOP＝∠BOE.∵OA＝OB，∠OAP＝∠EBO＝45°，∴△AOP≌△BOE.∴AP＝BE＝DF＝CQ，∴AE＝BQ＝CF＝PD.设点O到正方形ABCD一边的距离为d，则12(AP＋AE)d＝12(BE＋BQ)d＝12(CQ＋CF)d＝12(PD＋DF)d.∴S四边形APOE＝S四边形BEOQ＝S四边形CQOF＝S四边形FOPD.∴直线EF、OM将正方形ABCD的面积四等分．第41讲┃操作探究型问题第41讲┃操作探究型问题第41讲┃操作探究型问题例3[2013·山西改编]数学活动——求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图41－4，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G.求重叠部分(△DCG)的面积．探究三平移旋转操作探究问题图41－4第41讲┃操作探究型问题求重叠部分(△DCG)的面积．(1)独立思考：请解答老师提出的问题；(2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图41－5，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程．图41－5第41讲┃操作探究型问题例题分层分析(1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角的特征；(2)当将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，此时G点是AH的中点吗？△DGH的面积与△DAH的面积之间是倍分关系吗？解题方法点析此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．第41讲┃操作探究型问题例题分层分析(1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角的特征；(2)当将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，此时G点是AH的中点吗？△DGH的面积与△DAH的面积之间是倍分关系吗？解题方法点析此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．第41讲┃操作探究型问题解∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA，∴∠B＝∠DCB.又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B.∴∠FDE＝∠DCB，∴DG∥BC.∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴DG⊥AC.又∵DC＝DA，∴G是AC的中点，∴CG＝12AC＝12×8＝4，DG＝12BC＝12×6＝3.∴S△DCG＝12×CG·DG＝12×4×3＝6.第41讲┃操作探究型问题(2)∵△ABC≌△FDE，∴∠B＝∠1.∵∠C＝90°，ED⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠2＝90°，∴∠B＝∠2，∴∠1＝∠2.∴GH＝GD.∵∠A＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，∴∠A＝∠3，∴AG＝GD，∴AG＝GH，∴点G是AH的中点．在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10.∵D是AB的中点，∴AD＝12AB＝5.第41讲┃操作探究型问题在△ADH与△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ADH＝∠ACB＝90°，∴△ADH∽△ACB，∴ADAC＝DHCB，即58＝DH6，∴DH＝154，∴S△DGH＝12S△ADH＝12×12×DH·AD＝14×154×5＝7516.