专题二、分式不等式的解法

（一）分式不等式：型如：0)()(xxf或0)()(xxf（其中）（、xxf)(为整式且0）（x）的不等式称为分式不等式。（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（1）0)()(0)()(xxfxxf（3）0)()(0)()(xxfxxf（2）0)(0)()(0)()(xxxfxxf（4）0)(0)()(0)()(xxxfxxf（3）小结分式不等式的解法步骤：（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式（2）转化为等价的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）（1）分式不等式的解法：解关于x的不等式0231xx方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：02301xx或02301xx0)23)(1(xx变式一：0231xx等价转化为：0230)23)(1(xxx比较不等式0231xx及0231xx的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）练一练：解关于x的不等式051)1(xx3532)2(x例1、解关于x的不等式：232xx解：0232xx03)3(22xxx即，038xx038xx（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）等价变形为：030)3)(8(xxx原不等式的解集为3,8例2、解关于x不等式23282xxx方法一：322xx恒大于0，利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。例3、解关于x的不等式：1xa解：移项01xa通分0xxa即，0xax等价转化为，00)(xaxx当a0时，原不等式的解集为],0(a当a0时，原不等式的解集为)0,[a当a=0时，原不等式的解集为⒈一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式0)1)(4(xx.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：0401xx与0401xx的解集的并集，即{x|0401xx}∪0401|{xxx}=φ∪{x|-4x1}={x|-4x1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)00401xx或0401xxx∈φ或-4x1-4x1，∴原不等式的解集是{x|-4x1}.小结：一元二次不等式)a()cbxax(cbxax00022或的代数解法：设一元二次不等式)a(cbxax002相应的方程)a(cbxax002的两根为2121xxxx且、，则00212)xx)(xx(acbxax；①若.xx,xx,xx,xx.xx,xx,xx,xx,a2121212100000或或则得当21xx时，得1xx或2xx；当21xx时，得1xx,Rx且.②若.xx,xx,xx,xx.xx,xx,xx,xx,a2121212100000或或则得当21xx时，得21xxx；当21xx时，得x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4x1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)0；解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③列表如下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式积-+-+④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2x1或x3}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0(0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)0.{x|-1x0或2x3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例2图练习图直接写出解集：{x|-2x1或x3}.{x|-1x0或2x3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解，称之为串根法①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1x2或2x3}.说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2．分式不等式的解法例4解不等式：073xx.错解：去分母得03x∴原不等式的解集是3x|x.解法1：化为两个不等式组来解：∵073xx07030703xxxx或x∈φ或37x37x，∴原不等式的解集是37x|x.解法2：化为二次不等式来解：∵073xx070)7)(3(xxx37x，∴原不等式的解集是37x|x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是{x|-7x3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)x(g)x(f的形式.例5解不等式：0322322xxxx.解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322xxxx0320)32)(23(222xxxxxx0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(xxxxxx，∴原不等式的解集为{x|-1x1或2x3}.练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式253xx.答案：1.⑴{x|-5x8}；⑵{x|x-4,或x-1/2}；2.{x|-13x-5}.练习：解不等式：123422xxxx.（答：{x|x0或1x2}）1.不等式222310372xxxx的解集是2.不等式3113xx的解集是3.不等式2223712xxxx的解集是4.不等式1111xxxx的解集是5.不等式229152xxx的解集是6.不等式22320712xxxx的解集是7.不等式2121xxx的解集是8.不等式2112xx的解集是9.不等式23234xx的解集是10.不等式2212(1)(1)xxx的解集是11.不等式2206xxxx的解集是12.不等式2121xxx的解集是13.不等式2321xxxx的解集是14.不等式211(3)x的解集是15.不等式(23)(34)0(2)(21)xxxx的解集是16.不等式2311xx的解集是17.不等式1230123xxx的解集是18.不等式25214xx的解集是19.不等式221421xxx的解集是20.不等式221(1)(2)xxx的解集是答案1.2.(-2，3)3.4.5.6.7.8.(1，2)9.10.11.12.13.14.15.16.[-1，2]17.18.19.20.