华师版24.4解直角三角形

什么是解直角三角形？由直角三角形中除直角外的已知元素，求未知元素的过程，叫做解直角三角形.如图：RtABC中，C=90，则其余的5个元素之间关系？CABbca复习知识回顾一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:sinA＝accosA＝tanA＝ＡＣＢabc有三条边和三个角，其中有一个角为直角bcab锐角三角函数复习30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）对于cosα，角度越大，函数值越小。例1.如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:26＋10＝36（米）.答:大树在折断之前高为36米.22102426+=在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形解直角三角形的依据ＡＣＢabc(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:tanA＝absinA＝accosA＝bc新知识（4）面积公式：hcbaSABC2121▲在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素?这5个元素之间有什么关系?知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?cbaCBA在Rt△ABC中,（1）根据∠A=60°,斜边AB=30,你能求出这三个角的其他元素吗？A在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,就可以求出其余三个元素.(其中至少有一个是边),你发现了什么BC∠BACBC6∠A∠BAB一角一边两边2（2）根据AC=，BC=你能求出这个三角形的其他元素吗？26两角（3）根∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?不能例题分析1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形.解：由勾股定理得：22622222BCABAB在Rt△ABC中，AB=2AC所以，∠B=30°∠A=60°ACBCtanA解：32660A3060-90A-90B222ACABCAB26?262、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°,b=.解这个直角三角形.CBA3434解：在Rt△ABC中，∠B=60°,b=∴∠A=30°,c=2a34方法一：设a=x，c=2x由勾股定理得：222342xx)(舍去或解得：44xx∴c=8，a=4方法二：baAtan即：3403tana3433a4a解得：∴c=8方法一方法二比较这两种方法哪个方法更简单？基础练习1、在下列直角三角形中不能求解的是（）A、已知一直角边一锐角B、已知一斜边一锐角C、已知两边D、已知两角2、Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．D45843解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函数关系式sin,sinabABcccos,cosbaAAcctan,tanabABba归纳小结解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程直角三角形中，AB∠A的对边aC∠A的邻边b┌斜边c在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；解直角三角形的依据(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)DBCA40°2000解:在RTΔABC中,∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,tan∠CAB=∴BC=ABtan∠CAB=2000tan50°∵cos50°=AC=BCABABAC20003111cos50cos50AB如图,太阳光与地面成60°角,一棵倾斜的大树AB与地面成30°角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.ABC30°地面太阳光线60°10D解:过点作AD⊥BC于D,设AD=则AB=2∵cot60°=∴CDAD3333CDxCDxxx又∵tan30°=ADBD∴333103310353103xxxxxAB铅垂线水平线视线视线仰角俯角方位角如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.仰角和俯角解在Rt△BDE中，BE＝DE×tana＝AC×tana＝22.7×tan22°≈9.17，所以AB＝BE＋AE＝BE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）．答：电线杆的高度约为10.4米．例题3：为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）这样做例题图25.3.4•如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=lh坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝tanα坡度越大，坡角α怎样变化？例题4：一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）•解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知•DE＝CF＝4.2（米），•CD＝EF＝12.51（米）．•在Rt△ADE中，因为•所以•在Rt△BCF中，同理可得•因此AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．•答：路基下底的宽约为27.13米．•32tan2.4AEAEDEi)(72.632tan2.4米AE)(90.728tan2.4米BF真知在实践中诞生解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠B=300,∠ACD=600,BC=20海里.设AD=x,则例题讲解数学化?答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.xxCDCDxACD3360tan,tanxCDBD332020D┌ABCD北东600300BDADBABD中在Rttan,)(3.17310333320海里解得xxx（一）aDCDCaBCACDCACDCBCtantantantantanaDCtantantantantanDCDCaDCACDCADC中在RtDCaAC　　DCBC┌CDABaαβ法(一)法(二)小结拓展模型：∵BC=DC·cotβAC=DC·cotαcotcotcotcotaDCaDCDCaBCAC(二)cotaDCtancottan:cotcotDCDCaDCACDCADC中在RtDCaAC　DC　BCDCAB现在你能用上面的知识测量不能直接达到的物体的高度了吗？1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看低平面控制点B的俯角α=16031／，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米）αABC练习解：由题可知∠ABC=α，在Rt△ABC中sin∠ABC=sinα=,∴AB==4.2(米)ABACsinAC3116sin1200∴飞机A到控制点B的距离4.2米.