拉普拉斯变换(自动控制原理)

拉普拉斯变换----补充内容一、什么叫做拉普拉斯变换•古典的求解微分方程的方法，求解过程比较繁琐，而且只能处理一些比较简单（一阶或二阶的微分方程）。•而对我们以后要面对的自动控制系统将包含很多环节，它们之间的变化互相制约着。如果还要通过古典法求解微分方程来分析自动控制系统，那将是一个是分困难和不切实际的。•拉普拉斯变换为我们提供了一种简单的求解微分方程的方法，是我们进行系统分析的一个很好数学的工具。•拉普拉斯变换是将一个时域函数f(t)变换成一个复数域的函数F(s)[f(t)]LF(s)简记：像函数原函数这里像函数的具体形式取决于原函数的具体形式，也就是说原函数和像函数是一一对应的。0st-dtf(t)eF(s)定义：•假如已知F(s）又可以通过拉斯反变换求出原函数，即：dsesFjtfst)(21)([F(s)]Lf(t)-1简记：到此大家可能会问：为什么要进行拉普拉斯变换？是不是将问题复杂化了？•大家在初等数学中都学过自然对数。；例如的数值要计算cba其中a，b，c代表的已知的数值，当然我们可以直接用乘除法进行计算，但当这些数的数值较大，则乘除运算还是相当麻烦的。为简化计算起见，可以对上式去自然对数，这样一来就可将原来的计算此结果的乘除运算变化为代数运算cbacbalglglglg要计算此结果可以先查对数表，进行计算，然后再查反对数表即可得到运算结果•拉普拉斯变换的作用和对数计算有着相同的功效，不过拉斯变换不象对数那样只是一个数与数之间的变换，而是函数与函数之间的变换。利用拉斯变换可以把解微分方程中遇到的微分、积分的运算简化为关于s的代数运算，因此简化了解微分方程的求解过程。•和对数运算一样，在拉普拉斯变化的运算中也有现成的变换表可查，不需要运用定义去进行复杂的积分运算二、拉斯变换主要运算定理•拉斯变换之所以好用，就是因为它具有一些可以加以利用的基本性质，下面的几条主要运算定理就是阐明拉斯变换的性质，只有掌握了这些的定理才能发挥拉斯变换的作用。•下面就简述一下它的几个主要定理1、叠加定理•叠加定理告诉我们，如果)()()(21sftftf那么：)]([)]([)]([21sfLtfLtfL)()]([)()]([)()]([2211sFsfLsFtfLsFtfL)()()(21sFsFsF即：证明：按定义)()()()())()(()()]([)(2100212010sFsFdttfedttfedttftfeetftfLsFstststst)()()()()()()()(22112211sFsFsFsFtftftftfnnnn推广2、微分定理微分定理是拉普拉斯变换的核心定理，为什么利用拉斯变换可以将微分、积分的运算简化为一般的代数运算？它的依据就是微分定理微分定理告诉我们如果：f(0)-sF(s)]L[)()]([dtdfsFtfL则下面我们进行证明证明：依据拉斯变换的定义，有0dtedtdfdtdfLst上式利用分部积分法进行积分，现令dtdtdfdveust)(tfvdtsedust)0()()()0())(()(000000fssFdtetfsfdtsetftfedtdtduvuvdtedtdfdtdfLstststst微分定理得以证明那我们再讨论二阶导数的拉斯变化，即：22dtfd??][22dtfdL我们可以将运用微分定理将看成的导数来使用微分定理22dtfddtdf)0()0()()0()]0()([2022fsfsFsffssFsdtdfdtdfsLdtdfdtdLdtfdLt依次类推，求三阶导的拉斯变化22dtfd33dtfd)0()0()0()()0()]0()0()([222022222233ffsfssFsffsfsFssdtfddtfdsLdtfddtdLdtfdLt推广之)0()0()()1(1nnnnnffssFsdtfdL当在零初始条件下0)0()0()0()1(nfff以上各阶导数的拉斯变换为：)()()(222sFsdtfdLsFsdtfdLssFdtdfLnnn也就是说，对原函数每进行一次微分后的拉斯变换就相当于它像函数用s来乘一次。这里将微分运算简化为乘以s，这就是拉斯变换的奥妙之处3、积分定理积分定理告诉我们，如果0)()0()0()(])(L[)()]([tdttffsfssFtfsFtfL其中则证明：根据拉斯变换的定义将f(t)看成是的导函数dttf)(])([)(dttftf根据微分定理0)()()(tdttfdttfsLtfLsfssFdttfL)0()()(所以定理得以证明在此基础上加以推广，求二次积分拉斯变换，同理将看成为的导函数2)(dttfdttf)(2)(dttf])([)(2dttfdttf022)0()()(tdtfdttfsLdttfL0220)()()()(ttdttfdttfsLsdttfssFLsdttfsdttfssFdttfLtt022022)()()()(所以在零初始条件下0)()(020ttdttfdttfnnssFdttfLssFdttfLssFdttfL)()()()()()(22也就是说，原函数每积分一次的拉斯变换，即相当于它的像函数用s来除一次4、位移定理)()(sFtfeLt位移定理告诉我们)()]([sFtfL如果则证明：根据拉斯变换的定义L)()()()(0)(0sFdttfedtetfetfeLtssttt又上式可见：上式只是在F(s)中的s由（s-a）代替即可，这个性质表明一个原函数乘以指数函数等于其象函数作位移ate5、延时定理（第二位移定理）f(t)f(t-z)z若)()]([sFtfL0)(),(tfttf时，当有函数则根据卡斯变换定义，有)()()()()()()(00)(00sFedueufedueufdtetfdetfdtetftfLssususststst令t-z=u6、初值定理和终值定理1）初值定理此定理表明，原函数在t=0时情形与像函数在s→∞时的情形有着密切的关系，既有：)(lim)0()(lim)(lim0ssFfssFtfsst或证明：根据拉斯变换的微分定理)0()()0()(fssFftfsLdtdfL上式中的f(0)是一个常数，与s无关，因此)0()(limlimfssFdtdfLss从另一个角度看，又有00limlimdtdtdfedtdfLstss固有0)0()(limfssFs)(lim)0(ssFfs所以此性质表明函数f(t)在t=0时函数的值可以通过f(t)的像函数F(s)乘以s取s→∞的极限值而获得它，建立原函数f(t)在坐标原点的值与像函数sF(s)在s→∞的值之间的关系。2）终值定理次定理表明，原函数f(t)在t→∞时的情形与像函数F(s)在s→0时的情形有着密切的关系，即)(lim)()(lim)(lim00ssFfssFtfsst或根据拉斯变换的微分定理)]0()([limlim00fssFdtdfLss上式中f(0)是一常数，与s无关)0()(limlim00fssFdtdfLss从另一个角度看，又有)0()(lim)(limlimlim0000000ftftfdtdtdfdtdtdfedtdtdfedtdfLtstsstss)]0()([lim)0()(lim0fssFftfst所以)(lim)(0ssFfs这个性质表明函数f(t)在t→∞时的函数值（即稳态值），可以通过f(t)的像函数乘以s取s→0时的极限值而得到。它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系。7、拉斯反变换上面介绍的是拉普拉斯变换的线性定理，同样也有与之对应的拉普拉斯反变换。拉普拉斯反变换就是从像函数F(s)求与之对应的原函数，我们教材书中介绍了反变换的一般公式。通常在进行拉斯反变换时可直接查拉斯表获得。