拉普拉斯变换

第六章拉普拉斯变换本章基本要求•理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换•掌握有理分式反演法•掌握延迟定理，位移定理和卷积定理•理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法求解微积分方程。6.1拉普拉斯变换的概念一Laplace变换的定义1傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件2）在（-∞，+∞）上满足绝对可积的条件3）在整个数轴上有定义xxfd|)(|实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t0无意义。2拉普拉斯变换研究的对象函数1）函数满足这样的条件:a)t0时，f(t)=0b)t=0时，f(t)右侧连续，)0()(lim0ftft的实变函数为t)(,000)()(tftttftf2）设单位阶跃函数，则原函数f(t)，研究函数为f(t)u(t)。0001)(tttu3从傅里叶变换推导拉普拉斯变换:)()()(0满足傅立叶变换的要求为有限值时，函数当ttetutfdtetf0])([21])()([21)()(21)(dteetfdteetutfFdeFetftittittitidsd,is则令dsesfitfdtetfsFiistst)(21)()()(0从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-δt的傅里叶变换。4Laplace变换的定义设f(t)为定义在[0，∞）上的实变函数或复值函数，若含复变量的积分在s的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数称为函数f(t)的Laplace变换或像函数，记作F(s)=L[f(t)]，)0(,(为实数）is0)(dtetfst0)()(dtetfsFst0)(为有限值dtetftdsesfitfiist)(21)(而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，记作f(t)=L-[F(s)]，上式也称作黎曼-梅林反演公式。二Laplace变换的存在条件1Laplace变换存在的充分条件是：（1）在0t的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的。（2）存在常数M0和0，使对于任何t(0t),有MetfMetftt)()(即的下界称为收敛横标，以0表示。大多数函数都满足这个充分条件。0+i0-is平面osi收敛横标2定理：若f(t)满足上述条件，则像函数F(s)在半平面Resδ上有意义，而且是一个解析函数。三例题例1指数函数eat(a为复常数))Re(Re11d1])(d[1d][L0)(0)(0)(0)(asaseaseastaseasteetastastastasat例2Heaviside阶跃函数:0,00,1)(tttu)0(Re1d1)]([L0sstetfst例3线性函数f(t)=t(t0):)0(Re1|1)d(1d1|1)(d1d)]([L200220000ssesstestestesetsttetfstststststst例4atttfe)()Re(Re)(1|)(1])(d[101d|1d1d][L20)(20)(0)(0)(0)(0)(asaseastaseasasteetasetastettetastastastastastasat同理)Re(Re)(!][L1asasnetnatn解：ttftttftttfss-st-st-std)(ed)()(ed)(eddddF(s)000从而类推nnnnssFtftd)(d)1()]([ℒ例5)]([tft求ℒsFtftd(s)d)1()]([ℒ6.2基本函数的拉普拉斯变换一单位阶跃函数二δ(t)函数1(t)]L[0t)()]([00000，当ststedtttettL三函数tn（n-1)的拉氏变换1010)1(1)(]L[,stxnxnnxnnsndxexssdxesxt则令dtettLstnn0][6.3Laplace变换的基本性质Laplace变换F(s)的特性：（1）F(s)在Re(s)0的半平面代表一个解析函数。（2）当|Args|/2-ε(ε0)时：0)(limsFs,||s存在，)(sF且满足0+i0-is平面o解析区域)()()]()([22112211sFcsFctfctfc)0(Rei1i1i21][][i21][sin22iisssseettt)0(Re][][21][cos22iissseetttℒℒℒℒℒℒℒ)Re(Re1][spspestℒ一线性定理：与Fourier变换一样。例注意：一、初始条件进入Lapace变换公式中，这一点在实际应用中非常重要。二、原函数对t的求导，变成像函数与p相乘。)0()()]('[fssFtfℒ)0()0()0(')0()()]([)1()2(21)(nnnnnnfsffsfssFstfℒ0)(elim)(tfiptt二原函数导数定理:原函数对t的积分变成像函数与s相除)]([1d)(0tstℒℒ三原函数积分定理:四相似性定理五位移定理：六延迟定理：)()]([sFtfet)()]([00sFettfst)(1)(asFaatfℒℒℒ),()]([),()]([2211sFtfsFtfttfftftf02121d)()()(*)(七卷积定理:ℒℒ)()()(*)(2121sFsFtftfℒ八像函数微分性质nnnndssFdtft)()1()]([ℒ即：像函数求积分，相当于原函数除t的像函数。)(d)(sttfssFℒ九像函数积分定理十关于参数的运算对于含参数α的函数f(t,α)的拉氏变换来说，由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于α的运算顺序可以交换，所以aaaadsFdtfLsFtfLsFtfL00),(]),([),()],([),(lim)],(lim[十一初值定理)(lim)(lim)0()(lim),()](L[0ssFtffssFsFtfsts存在，则且设十二终值定理)(lim)(lim)(0Re)()(lim),()](L[00ssFtfFsssFtfsFtfstt的平面上，则的奇点位于存在，或且设例1（P205例10.3.4）的拉氏变换。求积分正弦函数dtti0sin)(S例2（P206例10.3.5）的拉氏变换。求积分余弦函数dtticos)(C例3（补充例题）求解初始问题020ttyeydtdy例4（补充例题）求解初始问题0'''00ttyytyy例5（补充题，利用原函数积分法求解积分方程）设C，R，E为正常数，求解积分方程（该方程来自电路理论）ttEdttiCtRi0)0()(1)(6.3Laplace变换的反演关于t的微分方程关于p的代数方程关于p的代数方程原微分方程的解Laplace变换Laplace变换的反演一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式和Laplace变换的性质求原函数。一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母；2）分母分解因式；3）利用待定系数法进行部分分式展开4）利用拉氏变换表求解注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。例1求的原函数（p208例10.4.1）)3)(2)(1(1)(2sssssF例2求的原函数（p208例10.4.2）)1)(1(13)(2ssssF例3求的原函数813692)(423sssssF解)3(339)3(21)3(21)9)(3)(3(3692)(222223ssssssssssssF因此原函数为tteetftt3sin313cos)(21)(33i3i333)9)(3)(3(3692223sDsCsBsAssssssI通分后比较p的同次幂系数得：919)3(21)3(2191)3(21)3(21,,,i)/63(i)/63(2/12/136i27i272727999992i3i3331222sssssssssIDCBADCBADCBADCBADCBADCBA代入原式得二查表法反演例4：求的原函数。sesFs)(由表查得解tsL111又由延迟定理)()]([00sFettfptℒ)(1e1tssℒ例5求的原函数。解：由表查得由位移定理：因此原函数为2222)()(sss和2222][cos][sinsstst和tesstftestfttcos])([)(sin])([)(22122211ℒℒ)()]([sFtfetℒℒℒ例6求的原函数（p210例10.4.5）2222)22()1()(sssssF*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式在L右边，像函数解析，无奇点。故作围道(L+CR)在L的左边。设在L的左边只有有限个孤立奇点pk，由留数定理因在L的右边无奇点，所以可以说：pk是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂))(sFiide)(i21)(ssFtfpt])([Res)(stesFtfFourier变换与Laplace变换的比较1Fourier变换与逆变换比较对称，但Fourier变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT）;2尽管Laplace逆变换是复变积分，因像函数是一个解析函数，可以利用复变函数理论的公式;无现成的数值计算程序；每个问题的极点分布不一样。6.4拉普拉斯变换应用举例一利用拉氏变换求积分（1）如求的积分，先求的积分，然后令t=1。02)cos(dxx02)0()cos(xdxtx例1（p215例10.5.2）dxeIx02（2）若，则)()]([sFtfL00)(lim)(sFtfs例2（p216例10.5.3）0sintdtteIat（3）若，则利用基本公式11和初值定理，得到)()]([sFtfL00)()(dssFdf例2（p216例10.5.4）)0(0badtteeIbtat二利用拉氏变换求解微分方程，积分方程例1（p217例10.5.6）解方程0)0(',1)0(0)()(')(''yyttytytty例2L-R串联电路有交流源E=E0sinωt,求电路中的电流。LRE(t)K解：电流方程：0)0(sindd0jtERjtjL两边作Laplace变换：220)()(sEsRJsLsJ解得：220)(sRLsEsFtLRtLRtLRLRttLRtLRteLRLEtLtRLRELRLReeLEeeLEeLEtj