第四章根轨迹分析法

14-1根轨迹的基本概念4-2绘制根轨迹的一般步骤和基本法则4-3零度根轨迹4-4参量（参数）根轨迹4-5系统性能分析第四章根轨迹分析法2一、根轨迹闭环极点随开环根轨迹增益变化的轨迹例4-1已知系统如图，试分析Kc对系统特征根分布的影响。)2()(ssKsGc开环极点：2021pp开环根轨迹增益：cKK*闭环特征方程：02*2Kss闭环特征根244221*,Ks解：开环传递函数Kc1s(s+2)_R(s)C(s)4-1根轨迹的基本概念*K113研究K*从0～∞变化时，闭环特征根的变化K*与闭环特征根的关系*2,111KsK*=0，s1,=0，s2=-2ImRe[s]×-2×0K*=0.5，s1,2=-1±0.707=-0.293,-1.707••K*=1，s1,=s2=-1K*=2，s1,2=-1±j•-1••K*=5，s1,2=-1±j2••K*=10，s1,2=-1±j3••K*→∞，s1,2=-1±j∞K*：0→∞，闭环极点随之变化的轨线——根轨迹——开环极点4(1)稳定性K*：0→∞，系统闭环根在[s]上变化左半平面：稳定右半平面：不稳定(2)动态过程（时间响应信息）：(3)性能指标5.300sssttt01100coscos%%0dd0K*1——过阻尼；K*=1——临界阻尼K*1——欠阻尼K*↑——振荡↑(4)稳态性能二、根轨迹与系统性能开环增益积分环节个数ImRe[s]×-2×0•••-1••••••5设：G(s)_R(s)C(s)H(s))()()(111sNsMKsG开环传递函数：其中：2,1))(()(;))(()(2121ipspssNzszssMiiiiii)()()()()()(221121sNsMsNsMKKsHsG)()()(222sNsMKsH0)()(21sMsM开环零点：0)()(21sNsN开环极点：闭环传递函数：21*2121*211)()()()()(KKKsNsNsMsMKsNsMKs闭环零点：0)()(21sNsM闭环极点：0)()()()(2121*sNsNsMsMK反馈回路传递函数的极点前向通路传递函数的零点结论：1）闭环零点=前向通路传函的零点+反馈传函的极点（与K*无关）；2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与K*有关。三、开环零、极点与闭环零、极点6根轨迹法是由开环零、极点—得到闭环极点分布情况的图解法。根轨迹：是当开环系统中某一个参数变化时闭环系统特征方程根在平面上变化的轨迹。一旦获得根轨迹则：可直接得到闭环极点。得到系统对时间响应的全部信息。可间接得到闭环频率响应的信息。本章的目的：①画根轨迹。②从根轨迹上分析系统各种信息。70)()(1sHsG1绘制依据即：1)()(sHsG——根轨迹方程（向量方程）用幅值、幅角的形式表示：)12(1)]()([)()(ksHsGsHsG——根轨迹方程闭环的特征方程：1)()(sHsG)12()()(ksHsG幅值条件幅角条件设：）iniimipszsKsHsG()()()(11*111*iniimipszsKG(s)_R(s)C(s)H(s)幅值条件-必要条件幅角条件-充要条件imiinizspsK11*或：4-2根轨迹绘制依据及方法)12(kpszsii根轨迹增益K*（注意与开环增益K的区别），不是定数，从0~∞变化82一般步骤1)列写0)()(1sHsG2)写成0()(111*）iniimipszsK3)在[s]上标出开环零、极点zi，pi4)按以下基本规则绘制3基本法则法则1(根轨迹的起点和终点)G(s)_R(s)C(s)H(s)K*=0时的闭环极点K*=∞时的闭环极点起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。90()(11*）iniimipszsK当K*=0时，闭环特征根满足：01）inips(即K*=0时：闭环极点si＝开环极点pi当K*→∞时，闭环特征方程：0(1)(1*1）iniimipsKzs0)(1imizs即K*→∞时，闭环极点si＝开环零点ziK*→∞nm当时，imiinizspsK11*mnsimiinisszspsKlimlim11*有n-m条的终点在无穷远点证明：闭环特征方程：10说明：1）有限开环零、极点：zi，pi无限开环零、极点：∞根轨迹起于开环极点，终于开环零点2）在绘制其他参数根轨迹时，可能会出现m＞n的情况，此时，必有m-n条根轨迹起始于无穷远点。因为：iniimis*pszslimK111nmsslim110()(11*）iniimipszsK证明：1)分支数：分支数=max{n,m}连续的，且对称于实轴。闭环根的个数=特征方程阶次2)连续性∵闭环特征方程中的某些系数是K*的函数∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化∴特征根的变化也是连续的。3)对称性特征根根轨迹的分支数=闭环根的个数实根——位于实轴复根——对称于实轴根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。=max{n,m}法则2(根轨迹的分支数、连续性及对称性)12实轴上的任何线段，其右面的开环实数零、极点个数之和为奇数，则该线段是根轨迹的一部分。ReIm[s]×××⊙××××⊙⊙⊙⊙×ReIm[s]法则3(实轴上的根轨迹)13证明：利用幅角条件)12(11kpszsniimii设开环零、极点分布如图●s0选择实验点s01）观察开环复数零极点到s0点的幅角ImRe[s]p1z1z2p5p4p2p3z3z4θ2θ323234243开环复数零、极点不影响实轴上的根轨迹2）观察开环实轴上的零极点到s0点的幅角只要s0前有奇数个开环零极点，则满足：12θ1θ4θ5s0之前开环实数零极点个数之和为奇数，s0为根轨迹上的点。)12(kij14ReIm[s]例4-2已知系统开环传递函数，试绘制实轴上的根轨迹。)ps(sK)s(HsG*1××p1))(()(21*pspssKsHsGReIm[s]×××p1p2？？15mnzpmiiniia11当nm时，有n-m条根轨迹分支沿渐近线趋于无穷远。渐近线与实轴的交点σa，与实轴的交角a：)1,2,1,0()12(mnkmnka证明：1）设根轨迹上一动点s逐渐向无穷远处移动，从开环零极点到动点s所构成的角度不断变化。当s→∞时，其各个角度接近相等。当s到达无穷远，则各角度相等。即有：)12(knmaamnka)12(2）由根轨迹的对称性→渐近线也对称于实轴→交点必然在实轴上。交点相当于各零极点的重心，按重心计算方法：)(11miiniiaazpmnmnzpiia法则4(根轨迹的渐近线)16ReIm[s]例4-3绘制渐近线21pa××p1090)12(mnkaσa（2）))(()(21*pspssKsHsGReIm[s]×××p1p23021ppaσa00180,603)12(ka)()(1*pssKsHsG（1）17))()(()(321*pspspssKsHsG4321pppa（3）ReIm[s]×××p1p2×p300135,454)12(Kaσa4）))()(()()(3212*pspspsszsKsHsGReIm[s]×××p1p2×p3×z4321zpppaσa00135,4515)12(Ka18))()(()(3212*pspspssKsHsG5）ReIm[s]×××p1p2×p3×5321pppaσa000180,108,365)12(Ka思考：渐近线与复平面有什么关系？渐近线把复平面等分为n-m份。19解：m=0n=3:p1=0,p2=-1,p3=-2①把开环零点和开环极点标在s平面上，零点用“o”;极点用“×”。ReIm×××②绘制实轴上的根轨迹：0-1-2︱︱︱-3––––12-1-2③求渐近线：显然，n-m=300180,60a32101σa问题：根轨迹如何离开实轴趋向于渐近线？mnzpiia例4-4已知某系统开环传递函数:概略绘制K*从0→∞变化时的根轨迹。)s)(s(sKGH*2120即重根点两条或两条以上的根轨迹分支在[s]上相遇又立即分开的点设分离点的坐标为(d,0)，则：niimiipdzd1111l——相遇的根轨迹分支数lk12分离角θd=进入重根点的根轨迹在重根点处的切线与实轴正向夹角离开重根点的根轨迹在重根点处的切线与实轴正向夹角会合角d=lk2lk12会合角d=分离角θd=lk2或：法则5：分离点(会合点)及分离角、会合角21证明：由根轨迹方程，有0111*iniimipszsK闭环特征方程0)()(1*1imiinizsKpssD分离点即有重根的点，0)(0)(sDsD即)()(**iiiizsdsdKpsdsdzsKps上两式相除iiiizszsdsdpspsdsddszsddspsdiilnlniiiizszspspslnlnlnlndszsddspsdiilnlnniimiipdzd1111又重根存在的条件22例4-4已知某系统开环传递函数为:)2)(1(*)()(sssKsHsG概略绘制K*从0→∞变化时的根轨迹。解：①标开环零极点;②绘制实轴上的根轨迹;③求渐近线00180,60a1a④求重根点p1=0,p2=-1,p3=-2021111dddniimiipdzd111102632dd（舍）58.142.0624366dReIm×××0-1-2︱︱︱––––-312-1-2-σ·-0.4223求分离点也可直接用来求0*dsdsdK)23()2)(1(23*ssssssK02632*dsdsssdsdK02632dd即：根轨迹与虚轴的交点？ReIm×××0-1-2︱︱︱––––-312-1-2-σ.-0.42.?.?24方法1可按劳斯判据求得（0,jω）方法2可将s=jω代入特征方程，令Im=0，Re=0，求得K*及ωc。接上例，方法1用劳斯判据0)2)(1(*Ksss*0**2336321KsKsKssK*=6时，第一列为零0632s2js023*23Ksss法则6（根轨迹与虚轴的交点）25方法2令s=jω0)2)(1(*Kjjj023*23Kjj02033*2K2,06*K22ReIm×××0-1-2︱︱︱––––-312-1-2-σ.-0.42..26例4-5已知系统开环传递函数)2()4(*)()(sssKsHsG绘制根轨迹。解：①把开环零点和开环极点标在s平面上，零点用“o”;极点用“×”。——渐近线为负实轴②绘出实轴上的根轨迹：③④求重根点：由得41211ddd0882dd8.6224;2.122421dd在d1处，会合角为00、180