杆梁结构有限元分析(第四章)

FiniteElementmethodandANSYS程强有限元分析及ANSYS北京工业大学机电学院第四章杆梁结构的有限元方法4.1杆梁结构分析的工程概念4.2杆件有限元分析的标准化表征与算例4.3梁件有限元的标准化表征与算例4.4本章要点回顾4.1杆梁结构分析的工程概念在机械结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的计算分析对于机械结构设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应的1D、2D、3D模型。由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果，因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。4.1杆梁结构分析的工程概念图4-1建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例1基本力学原理杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l，横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下面讨论该问题的力学描述与求解。图4-2一端固定的拉杆4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例基本变量：由于该问题是沿x方向的一维问题，因此只有沿x方向的基本变量，即定义沿x方向移动为位移：定义：沿x方向移动为位移：沿x方向的相对伸长(或缩短)量为应变：沿x方向的单位横截面上的受力为应力：基本方程：①取出杆件的任意一个截面，可得到平衡方程(无体力)为②取出杆件x位置处的一段长度dx，设伸长为du，则相对伸长量为③由该材料的拉伸试验，可得到该材料的虎克定律为④边界条件位移边界条件BC(u)力边界条件BC(p))(xu)(xx)(xx0)(1dxdcxxx或xdxduxxE0|)(0xxuxlxpAFx|)(4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求解，即:直接求解法：可以由3个方程来直接求解3个变量;间接法(试函数)：选取变量(位移)作为基本的待求变量，将其它变量都用它来表达，并采用间接的近似求解方法。具体的做法如下：假设满足位移边界条件的位移变量可能解(含待定的系数)，称为试函数，让该受力系统的势能取最小值来最后确定出可能解(试函数)中的那些待定系数；也可以让该受力系统的内部变形虚功等于外部施加力的虚功，来求出试函数中的那些待定系数。4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例1D问题的虚功原理求解先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思想，然后再具体求解一端固定的拉杆问题。如图4-3所示的一个平衡力系，由于该系统处于平衡状态，则有假想在该平衡力系上作用有微小的扰动(不影响原平衡条件)，且外力所作用的位置产生了微小的位移变化，即ΔA，ΔB。该假想的位移如果不影响原平衡条件，应满足以下几何关系ABBAllppABABll4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例这就是任意扰动的位移应满足的条件，称为许可位移条件，我们把满足许可位移条件的、任意微小的假想位移称为虚位移。即：对于一个处于平衡状态的系统，作用于系统上的所有外力在满足许可位移条件的虚位移上所做的虚功总和恒为零。现在进一步讨论弹性力学中有关变形体的虚功原理，这时的虚功应包括外力虚功δW和内力虚功−δU，δU叫做虚应变能。由于弹性体在变形过程中，内力是抵抗变形所产生的，其方向总是与变形的方向相反，所以内力虚功取负。由于虚功总和为零，则有弹性力学中的虚功原理可表述为：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给物体以微小虚位移时，外力所做的总虚功等于物体的总虚应变能(即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功)。注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件BC(u)的许可位移。0BFAFBA0UW4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例下面应用虚功应力来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题，设有满足位移边界条件的位移场可以验证：它满足位移边界条件。这是一个待定函数，也称为试函数，所谓该函数是待定的，就是因为它中间有一个待定系数，这就需要通过一个原理来确认它，下面由虚功原理来进行确认。基于式(4-13)的试函数，则它的应变、虚位移以及虚应变为其中δc为待定系数的增量。计算如图4-2所示算例的虚应变能以及外力虚功为cxxu)(cxxcxucx)(.)()(AlcEcdAdxEdUlAxxxx0lcFlxuFW)((4-13)4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例由虚功原理，有消去δc后，有解1D问题的最小势能原理求解先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许可位移场，计算该系统的势能为其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有lcFlAccEEAFcWUu)()())(())((21lxuPWdxuxuUxx4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的势能取极小值，即下面应用最小势能原理来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题，如同样取满足位移边界条件的位移场，则计算应力、应变为则计算该系统的势能为求极值，即则可以求出与虚功原理结果相同])([min)()(WUuuBCxucExExcdxduxxxx)()()(lcplAcEWUu221)(0)(cuEAPc/4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例2局部坐标系的杆单元描述单元的描述包括单元的几何及节点描述、位移场、应变场、应力场、势能，也就是要充分利用描述问题的三大类变量以及三大类方程来计算单元的势能，然后，由最小势能原理(或虚功原理)来得到单元的方程。实际上，单元内位移场的描述就是它的试函数的选取。(1)单元的几何及节点描述图4-4所示为一个在局部坐标系中的杆单元，由于有两个端节点（Node1和Node2），则基本变量为节点位移(向量)列阵将每一个描述物体位置状态的独立变量叫做一个自由度，显然，以上的节点位移为两个自由度。节点力(向量)列阵为Teuuq][214-25TePPP][214-264.2杆件有限元分析的标准化标准与算例局部坐标系的杆单元描述图4-4局部坐标系中的单元若该单元承受有沿轴向的分布外载，可以将其等效到节点上，即表示为如式(4-26)所示的节点力。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参量(即场变量）用节点位移列阵及相关的插值函数来表示。单元位移场的表达设该单元的位移场为由Taylor级数，它可以表示为该函数将由两个端节点的位移来进行插值确定，可取式(4-27)的前两项来作为该单元的位移插值模式：)(xu......)(2210xaxaaxu4-2721uu和4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例单元节点条件为将节点条件(4-29)代入式(4-28)，可以求得将其代入式(4-28)有其中N(x)叫做形状函数矩阵，为xaaxu10)(4-28210|)(|)(uxuuxuelxx4-29eluuaua121104-30eeeeqxNulxulxxluuuxu)()()1()()(211214-31eelxlxxN1)(4-324.2杆件有限元分析的标准化标准与算例叫做节点位移列阵，即单元应变场的表达由弹性力学中的几何方程，有1D问题的应变其中其中几何矩阵单元应力场的表达由弹性力学中的物理方程，有1D问题的应力其中Teuuq][21eq4-33eeeqxBuulldxxdux)())(11()()(21)11()()(eelldxxdNxB4-344-35eeeeqxSqxBExEx)()()()()()()(eeeeelElExBExS4-364-37其中应力矩阵4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例单元势能的表达基于式(4-34)和式(4-36)，有单元势能的表达式其中叫做单元刚度矩阵，即叫做节点力列阵，即eK1111eeeelAEKePeeePPp21)()()(212211uPuPdxxWUeeeeee)()()(22110uPuPdxAqxBxSqeeeeTleTeeeeeeeeeeeeeeeeeeeePPuulAElAElAElAEuuqpqKqTT21212121)(214-394-404-414.2杆件有限元分析的标准化标准与算例4杆单元的坐标变换在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中的任意一个位置，如图4-6所示，这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表达等价变换到整体坐标系中，这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成(即组装)。局部坐标的节点位移为整体坐标的节点位移为等价变换关系写成矩阵形式Teuuq][21Tevuvuq][2211avauuavauusincossincos222111121121sincos0000sincosvuvuaaaauuqe4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例其中为坐标变换矩阵下面推导整体坐标系下的刚度方程；由于单元的势能是一个标量(能量)，不会因坐标系的不同而改变，因此其中刚度方程aaaaTesincos0000sincoseeTeeeTeeTeTeeeeTeTeeTeeeTeqpqKqqpTqTKTqqpqKq)()(21)()(2121eeeTeTKTKeeTepTpeeepqK得整体坐标系中的刚度矩阵节点力阵4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例空间杆单元的坐标变换该杆单元在局部坐标系下(的节点位移还是整体坐标系中的节点位移列阵为杆在整体坐标中的方向余弦Teuuq][21Tewvuwvuq][222111lzzzzlyyyylxxxx121212),cos(,),cos(,),cos(22211121),cos(0),cos(),cos(000),cos(00),cos(),cos(wvuwvuzzyyxxzzyyxxuuqe4.2杆件有限元分析的标准化标准与算例其中坐标变换矩阵刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，即为),cos(0),cos(),cos(000),cos(00),cos(),cos(zzyyxxzzyyxxTe得整体坐标系中的刚度矩阵eeeTeTKTK节点力阵eeTepTp4.3梁单元有限元分析的标准化标准与算例设有一个受分布载荷作用的简支梁如图4-9所示，由于简支梁的宽度较小，外载沿宽度方向无变化，该问题可以认为是一个xoy平面内的问题，可以有以下两种方法来建立基本方程。方法1：是采用一般的建模及分析方法，即从对象取出dxdy微元体进行分析，所用的变量较多，方程复杂，未考虑到这一具体问题的特征。方法2：是针对细长梁用“特征建模”的简化方法来推导三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的描述；图4-9所示问题的特征为：1梁为细长梁，因此可只用x坐标来刻画;2主要变形为垂直于x的挠度，可只用挠度来描述位移场；针对这两个特征，可以对梁沿高度方向的变形做出以