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第十一周假设法解题（二）专题简析：已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。例题1两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的长度是第二根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米？【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第二根剩下长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的长度的（5－3）＝2倍。（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）答：第二根原来有12米。练习11.丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？2.在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？3.两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？例题2王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地花去4.40×3＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15.20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）答：陈刚原来有零花钱7.44元。练习21．甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？例题3小红的彩笔枝数是小刚的12，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的23，两人原来各有彩笔多少枝？【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的12，则小红只需买（5×12）＝212枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－212＝212枝。将小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了212，相当于（23－12）＝16。小刚原来：（5－5×12）÷（23－12）－5＝10（枝）小红原来：10×12＝5（枝）答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。练习31．小华今年的年龄是爸爸年龄的16，四年后小华的年龄是爸爸的14，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁？2．小红今年的年龄是妈妈的38，10年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多少岁？3．甲书架上的书是乙书架上的57，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的书是乙书架上的45，甲、乙两各书架原来各有多少本书？例题4王芳原有的图书本数是李卫的45，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳的图书的本数是李卫的710，两人原来各有图书多少本？【思路导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的45，则王芳只需捐10×45＝8本，实际王芳捐了10本，多捐了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书看作“1”，着2本书相当于45－710＝110。（10－10×45）÷(45－710)=30(本)30×45＝24（本）答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。练习41．甲书架上的书是乙书架上的45，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上的书是乙书架上的47，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？2．小明今年的年龄是爸爸的611，10年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸今年各多少岁？3．甲车间的工人是乙车间的14，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人只占乙车间的16，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？例题5某校六年级男生人数是女生的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的34，现在男、女生各有多少人？【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的23，则男生应转走3×23＝2人，实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当于现在女生的34－23。（2+3×23）÷（34－23）＝48（人）48×34＝36（人）答：现在男生有36人，女生有48人。练习51．甲车间的工人是乙车间的25，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲车间的人数是乙车间的79，现在甲、乙两个车间各有多少人？2．有一堆棋子，黑子是白子的23，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的512，现在白子、黑子各有多少粒？3．爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？答案：练11、王阳：（5×5－5）÷（10－5）+5＝9本丁晓：9×5＝45本2、小学：（400×3－450）÷（3－2）－400＝350棵中学：350×3＝1050棵3、第二堆：（11×2－8）÷（4－2）+11＝18吨第一堆：18×2＝36吨练21、乙：（150×3－150－50）÷（3－2）－150＝100本甲：100×3+50＝350本2、牛庄小学：（54+20+8×2+26）÷（4－2）+8＝66人马村中学：66×2+54＝186人3、【53－（3×3+2）】÷（7×3－15）＝7次原有的白球：7×7+3＝52个练31、爸爸：（4－4×16）÷（14－16）－4＝36岁小华：36×16＝6岁2、妈妈：（10－10×38）÷（12－38）－10＝40岁小红：40×38＝15岁3、乙：（90－90×57）÷（45－57）－90＝210本甲：210×57＝150本练41、乙：（112－112×47）÷（45－47）＝210本甲：210×45＝168本2、爸爸：（10－10×49）÷（611－49）＝55岁小明：55×611＝30岁3、乙：（30－30×16）÷（14－16）＝300人甲：300×14＝75人练51、乙：（20+35×25）÷（79－25）＝90人甲：90×79＝70人2、白：（12+18×23）÷（23－512）＝96粒黑：96×512＝40粒3、曙光：（1+6×2.5）÷（2.5－12）－6＝2人爱华：2×2.5＝5人第十二周倒推法解题专题简析：有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。例题1一本文艺书，小明第一天看了全书的13，第二天看了余下的35，还剩下48页，这本书共有多少页？【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35＝25。第一天看后还剩下48÷25＝120页，这120页占全书的1－13＝23，这本书共有120÷23＝180页。即48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）答：这本书共有180页。练习14．某班少先队员参加劳动，其中37的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？5．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38，第二天走了余下的23，第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？6．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余下的25，丙拿走这时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？例题2筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－27＝57，第一天修后还剩500÷57＝700米，如果第一天正好修全长的15，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－15＝45，这段路全长800÷45＝1000米。列式为：【500÷（1－27）+100】÷（1－15）＝1000米答：这段公路全长1000米。练习21．一堆煤，上午运走27，下午运的比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的12多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？3．一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？例题3有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。甲：【24×2－24÷（1－15）】÷（1－13）＝27（千克）乙：24×2－27＝21（千克）答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。练习34．小华拿出自己的画片的15给小强，小强再从自己现有的画片中拿出14给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？5．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出15给乙后，乙又拿出14给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？6．一瓶酒精，第一次倒出13，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的59，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？例题4甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？【思路导航】根据题意，由最后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。168÷3÷2＝28元答：原来甲比乙多28元。练习41．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？2．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？3．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？例题5甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从乙仓库运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运出14到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的12。①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？12÷（1－14）＝23②甲仓库占两仓库和的