搜索
专题四操作方案设计问题专题解读考情透析操作题是指通过动手测量、作图(象)、取值、计算等，对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行思考、探索、归纳概括等来解决的一类问题．考查学生的动手能力、实践能力，分析和解决问题的能力．方案设计题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案．有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优.思路分析(1)解决操作题的基本思路是“作图→分析问题→解决问题”，具体做法：①作图：作出符合题意的图形(象)，如折叠、拼接、分割、平移、旋转等；②分析问题：找出(证)作图前后哪些几何量变化、哪些没变；③解决所提出的问题.(2)解决方案设计题的基本思路是“阅读信息→进行方案设计→寻求最优方案”.专题突破图形折叠问题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论；图形剪拼问题，就是将已知的图形分成若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．解决折叠问题(实质就是轴对称问题)，可利用轴对称变换的性质解题．一、折叠剪拼类操作【例题1】(2011·浙江温州)如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是()A．3B．4C．2＋2D．22答案C解析延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG＝OH＝HD＝EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长：在等腰直角三角形DEH中，DE＝2,EH＝DH＝2＝AE，所以AD＝AE＋DE＝2＋2.故选C.【例题2】(2012·中考数学改编)用一条直线可将等腰梯形分成两部分，用这两部分能拼成一个新的图形．请你在原等腰梯形上画出直线，并对这条直线进行必要的说明，然后在框内画出要求的新图形．(1)将等腰梯形分割后拼成矩形(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)(3)将等腰梯形分割后拼成三角形答案(1)将等腰梯形分割后拼成矩形(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)(3)将等腰梯形分割后拼成三角形此类操作题常与轴对称、平移、旋转、相(位)似等变换有关，掌握图形变换的性质是解这类题的关键．二、图形变换类操作(1)在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；(2)在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．【例题3】(2011·浙江绍兴)分别按下列要求解答：分析(1)根据点O的坐标得到点O1的坐标，画出半径是2的圆即可．(2)根据点的位置，找A、B、C关于P的对称点，画出即可．解(1)(2)如图所示：(1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；(2)如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积．【例题4】(2012·浙江义乌改编)在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.分析(1)由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数．(2)由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积．解(1)∵由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°.∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°.(2)∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1.∴BABC＝BA1BC1，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1.∴∠ABA1＝∠CBC1.∴△ABA1∽△CBC1.∴S△ABA1S△CBC1＝ABCB2＝452＝1625.∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝254.此类题是近几年来中考出现的新题型，它融计算、设计、作图于一体，独特新颖，是中考的热点之一．主要考查观察能力、图形的组合能力、设计能力等．三、利用图形进行方案设计方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.【例题5】某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是▱ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在▱ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；分析本题属于开放性试题，不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD面积的一半，作平行线是解题的关键，因为平行线间的距离处处相等．解方案(1)画法1：如图1：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)在DC上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；图1图2画法2：如图2：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；画法3：如图3(1)在AD上取一点H，使DH＝CF；(2)在CD上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形．图3图4方案(2)画法：如图4：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，(2)在AB上取一点Q，连接PQ，(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM、PN、MN则四边形QMNP就是所要画的四边形．(本题答案不唯一，符合要求即可)经济类方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多，这些问题可以结合方程和不等式(组)来解决．一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考的命题热点，正确理解题意，找出等量关系，列出函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面，不能有遗漏．四、经济类方案设计【例题6】(2012·浙江省杭州市一模)小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱，养殖A、B两种淡水鱼(两种鱼不能混养)．计划用于养鱼的总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元．设他用x只网箱养殖A种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产业情况如下表：项目类别鱼苗投资(百元)饲料支出(百元)收获成品鱼(千克)成品鱼价格(百元/千克)A种鱼2.331000.1B种鱼45.5550.4(1)小王有哪几种养殖方式？(2)哪种养殖方案获得的利润最大？(3)根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A种鱼价格上涨a%(0＜a＜50)，B种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？(利润＝收入－支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)解(1)设他用x只网箱养殖A种淡水鱼．由题意，得(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≥700，且(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≤720，又∵x为整数，∴x＝39，40，41，42.所以他有以下4种养殖方式：①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼41箱；②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；③养殖A种淡水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种淡水鱼38箱．∴28221≤x≤4267.(2)法一A种鱼的利润＝100×0.1－(2.3＋3)＝4.7(百元)，B种鱼的利润＝55×0.4－(4＋5.5)＝12.5(百元)．四种养殖方式所获得的利润：①4.7×39＋12.5×41－120＝575.8(百元)；②4.7×40＋12.5×40－120＝568(百元)；③4.7×41＋12.5×39－120＝560.2(百元)；④4.7×42＋12.5×38－120＝552.4(百元)．所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.法二设所获的利润为y百元，则y＝4.7x＋12.5(80－x)－120＝－7.8x＋880∴当x＝39时，y有最大值为575.8.所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.(3)价格变动后，A种鱼的利润＝[100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)](百元)，B种鱼的利润＝55×0.4×(1－20%)－(4＋5.5)＝8.1(百元)．设A、B两种鱼上市时价格利润相等，则有100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)＝8.1，解得a＝34.由此可见，当a＝34时，利润相等；当a＞34时第④种方式利润最大；当a＜34时，第①种方式利润最大．课时跟踪检测