一、典型非线性特性

第八章非线性控制系统NonlinearControlSystem内容提要§8.1概述§8.2相平面图§8.3奇点和极限环§8.4非线性系统的相平面图分析§8.5非线性特性的描述函数§8.6用描述函数分析非线性系统§8.1概述典型非线性特性非线性系统的运动特点非线性系统的研究方法一、典型非线性特性(一)饱和非线性(Saturationnonlinear)输入近似饱和特性输出实际饱和特性M-Mt-t0输入0输出KKh-h(二)死区非线性(Deadzonenonlinear)一、典型非线性特性(三)间隙非线性(Backlashnonlinear)0输入输出Kb-b一、典型非线性特性(四)继电器型非线性输入输出M-M0(a)输出M-M0h-h输入(b)输入输出M-M0h-h(c)输出M-M0mh-mh输入h-h(d)(On-offnonlinear)二、非线性系统的运动特点(一)稳定性与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。研究时应注意：1、系统的初始条件；2、系统的平衡状态。二、非线性系统的运动特点tE0e(t)(二)系统的零输入响应形式某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。二、非线性系统的运动特点(三)极限环（自激振荡）e(t)频率0振幅K′00K′K′=0K非线性弹簧M重物粘性阻尼器B系统微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)频率响应系统进行强迫振荡实验时的微分方程是：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.频率响应具有硬弹簧的机械系统ωω00x123465K′0具有软弹簧的机械系统ω0ω40x51326K′0三、非线性系统的研究方法相平面法(Phase-planetechnique)o适用于一阶、二阶系统描述函数法(Describingfunctiontechnique)o是一种等效线性化方法计算机仿真(Computersimulation)§8.2相平面图相平面法(Phase-planetechnique)是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究二阶系统。xxxxxnnww21221一、相平面图的基本概念二阶系统022xxxnnww令x1x,x2x.以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为相平面(phaseplane)。在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变量构成的曲线，称为相轨迹(phasetrajectory)。ACBx1=xx2=x.二、相平面图的绘制对于二阶系统f(x,)x..x.+=0(x,)以x,为相变量，可得到相轨迹通过点的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.－(一)相平面图的特点1、对称性x.a.关于轴对称即f(x,)是关于x的奇函数。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或b、关于x轴对称即f(x,)是的偶函数。x.x..f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或c、关于原点对称即f(x,)f(x,)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.－普通点相平面上不同时满足0和f(x,)0的点。x.x.奇点相平面上，同时满足0和f(x,)0的点。x.x.2.奇点和普通点(一)相平面图的特点(一)相平面图的特点所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。在x轴上，所有点都满足0。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为x.x.=dxdx.f(x,)x.－=∞3.相轨迹通过x轴的斜率(一)相平面图的特点在相平面的上半平面，系统状态沿相轨迹由左向右运动；在下半平面，系统状态沿相轨迹由右向左运动。系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。4.相轨迹移动的方向相轨迹方程(二)绘制相平面图的解析法x.=g(x)例8.1试绘制二阶系统02xxw的相平面图解：系统方程改写为0dd2xxxxw积分得相轨迹方程2222Axxwxx.0x0图解法是通过逐步作图的方法，不必解出微分方程，而把结果直接描绘在相平面上。常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。在等倾线法中，首先用等倾线来确定相平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相轨迹曲线。(三)绘制相平面图的图解法——等倾线法(Isoclinemethod)所有相轨斜率常量a的点，构成了等斜率线即等倾线。dxdx./相轨迹的斜率方程为给定一组a值，可求得一组等倾线族。利用等倾线族，可以确定相平面中任意一点相轨迹的斜率。x.=dxdx.f(x,)x.－等倾线方程为x.a=-f(x,)x.设系统方程为022xxxnnww得等倾线方程：令=adxdx./xxxnnaww22x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE02dd2xxxxxnnww改写为：例8.2xx.解：+a+x=0x..x.-a+x=0x..x.x.0x.0的相平面图求+a||+x=0x..x.上半平面的等倾线方程：x.1a+a=-x三、由相轨迹求时间响应曲线o根据系统的相轨迹可以采用图解计算的方法，从相轨迹逐步求出时间信息，从而获得系统的时间响应曲线x(t)。o这里我们介绍一种称为按平均速度求时间信息Dt的方法。由x.=dxdtx.=dxdtΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.相轨迹的斜率可表示为x.x.=dxdf(x,)x.－.x.+f(x,)x.=0在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即同时满足x.=0f(x,)x.=0§8.3奇点和极限环一、奇点(Singularpoint)022xxxnnww二、奇点的类型只要在奇点邻域内满足线性化条件，则系统方程可表示为：f(x,)x.(1)0＜＜1jωσo两个实部为负的共轭复根系统的奇点为稳定焦点(Stablefocus)xx.(2)0＞＞-1o两个实部为正的共轭复根jωσ系统的奇点为不稳定焦点(Unstablefocus)xx.(3)＞1o两个负实根jωσ系统的奇点为稳定节点(Stablenode)xx.(4)＜-1o两个正实根σjω系统的奇点为不稳定节点(Unstablenode)xx.(5)＝0o两个实部为零的共轭复根jωσ系统的奇点为中心点(Center)xx.o两个异号实根jωσ022xxxnnww(6)系统的奇点为鞍点(Saddlepoint)xx.三、极限环极限环(limitcycle)是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。(1)稳定极限环(2)不稳定极限环o极限环内外的相轨迹曲线都从极限环发散。xx.o极限环内外的相轨迹曲线都收敛于该极限环。xx.(3)半稳定极限环o极限环分割的两个区域都是稳定的，或都是不稳定的。xxx.x.例8-3分析如下系统的稳定性.x.x.+0.5+2x+x2=0解：x.=0f(x,)x.=0求得奇点(0,0)和(-2,0).x.x.+0.5+(2+2xi)x=0在(xi,0)奇点附近，系统的线性化方程为24-224-4xx.在奇点(-2,0)处，系统的线性化方程为.x.x.+0.5-2x=0在奇点(0,0)处，系统的线性化方程为.x.x.+0.5+2x=0§8.4非线性系统的相平面分析一、继电型控制系统的分析根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。在各区域内，求出相应的线性微分方程，做出各自的相平面图。根据连续性，将相邻区域的相轨迹彼此连接成连续曲线，即得非线性系统的相平面图。Ks(Ts+1)+M-Mmecr元件特性为：当e＞0时,mM;当e＜0时,m=-M.因此分界线为直线e0。它把相平面分成两个线性区Ⅰ区、Ⅱ区。eⅠe.ⅡA0eⅠe.ⅡA1A2在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.等倾线方程：e.-KM/Ta+1/T=e0,m=M，系统方程为：在区域Ⅱ内T+=KMe..e.e0,m=-M系统方程为：与T+=-KMe..e.其相平面图对称于原点比较,M-MΔ-Δem若继电元件有滞环特性DD)()(0时,当eMeMmeDD)()(0时,当eMeMme在＞0时的平面内，分界线为eD。在＜0时的平面内，分界线为eD。它们把相平面分为两部分。eeeⅠⅡe.其右半平面，系统在M信号作用下，系统方程为：T+=-KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅰ。其左半平面，系统在M信号作用下，系统方程为：T+=KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅱ。M-MΔ-Δem若继电元件有死区当e＞D,mM当e＜D,mM当D＜e＜D,m0元件特性为：分界线为eD和eD，它们将相平面分为三个区域eⅠⅡe.Ⅲ在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.在区域Ⅱ内T+=KMe..e.在区域Ⅲ内T+=0e..e.Tee1dd相轨迹斜率为：二、非线性增益控制系统分析在线性系统中，增益的选择需要兼顾调节时间，超调量及振荡次数等性能指标。在线性系统中只能选取折中方案。若采用非线性校正，则可能得到较好效果。0321xt系统阶跃响应Ks(Ts+1)mecrGNmt10e0-e0k系统方程可写为T+=Kmc..c.ke|e|e0e|e|e0m=e=r-cT++Km=e..e.T+r..r.(一)阶跃响应分析AⅡⅠe0e0e0BCDEFe.在区域Ⅰ内T++kKe=0e..e.在区域Ⅱ内T++Ke=0e..e.(二)斜坡响应分析BAeⅡⅠCDEp1p20e0e0(b)kKe0＜V＜Ke0,R0e.p2p1ABe0-e0eⅠⅡ(a)V＜kKe0,R＞e00e.T++kKe=V|e|e0e..e.T++Ke=V|e|e0e..e.三、二阶时间—最优控制系统的分析及综合er时间最优控制器直流电动机Js1icc.crRitImax-Imaxc.电动机MmaxKmImax加速度CmaxMmax/J设电动机的传递函数为Km/s,则i(t)±Imax=±JKm.c.Imax=JKm.c.i在r(t)R作用下，t＞0时,系统的误差方程=JKm.e.Imax±相轨迹方程为其中K=J2KmImax2=K(e-e0)±e.Q-Imax0A+ImaxA′B′BpⅠⅡee.maxmaxIIef)(02Kee0e02Kee02Kee0e02Kee§8.5非线性特性的描述函数一、谐波线性化o描述函数(describingfunction)是对非线性特性在正弦信号作用下的输出，进行谐波线性化处理之后得到的，表达形式上类似于线性理论中的幅相频率特性。输入信号x(t)Xsinwtω0ωω3ω5ω7Y)sin331(sin4)(ttMtyww01)sin(21214ntnnMw方波信号的富里叶级数Mxy0yM0ππ2ωt0ππ2ωtx推广到一般情况，设输出信号可以表示为富氏级数形式:10)sincos(2)(nnntnBtnAAtyww10)(sin2nnntnYAw1,2,3)d()sin(120nttntyBnwwnnnnnnBABAYarctan22;0,1,2)d()cos(120nttntyAnww式中若非线性特性具有奇对称特性，则A00)(sinsincos)(1111tYtBtAty式中ww201)d()cos(1tttyAww201)d()si