通信原理第2章 随机过程

CCZU通信原理CommunicationTheory第2章随机过程诸燕平常州大学信息科学与工程学院Email：[e-mail]2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平2第2章随机过程本章要求一、随机过程的基本概念二、平稳随机过程三、高斯随机过程四、随机过程通过线性系统五、窄带随机过程六、正弦波加窄带高斯过程七、白噪声和带限白噪声2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平3本章要求：随机过程的基本概念和数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳、高斯、窄带、正弦波加窄带高斯过程的统计特性随机过程通过线性系统高斯白噪声和带限白噪声2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平4一、随机过程的基本概念1．随机过程的定义:无穷多个样本函数的集合构成一个随机过程，记为ξ(t)。其属性：⑴ξ(t)是一个时间函数；⑵在某一观察时刻t1上，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个随机变量。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平52．分布函数和概率密度设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，t1其取值，ξ(t1)是一个一维随机变量，则ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果存在则称为的一维概率密度，维数n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平6随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻上的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量ξ1(t)和ξ2(t)构成一个二元随机变量{ξ1(t)，ξ2(t)}，称为随机过程ξ(t)的二维分布函数。如果存在则称f2(x1,x2;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。212121122(,;,){(),()}FxxttPtxtxξξ=≤≤2212122121212(,;,)(,;,)Fxxttfxxttxx∂=∂⋅∂2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平7同理，可定义ξ(t)的n维分布函数和n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平83.数字特征⑴均值（数学期望）它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。⑵方差它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。当a(t)=0时，方差。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平9（3）相关函数描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度时，常用相关函数或协方差函数来表示：若。若令则可表示为这说明，相关函数是起始时刻t1和τ的函数。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平10二、平稳随机过程1.平稳性（1）狭义平稳：对任意的n和h，随机过程的n维概率密度函数满足2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平11则称是平稳随机过程。含义：随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数不变。且有•一维分布则与时间t无关：•二维分布只与τ有关：2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平12（2）广义平稳：若随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔τ有关，即①则称广义平稳。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平13注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。通信系统中的信号、噪声大多为平稳随机过程。因此，本课程讨论的随机过程，若无特殊说明，均指平稳随机过程，且是广义平稳随机过程。欲证广义平稳，仅需证明上式中的第一、三式即可。式，实际上仅需满足，而对实际物理系统，这是自然满足的。对高斯随机过程，只要它是广义平稳的，则它亦是狭义平稳的。22()tσσ=2()tσ+∞2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平142.各态历经性（遍历性）设是平稳随机过程的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为如果平稳过程依概率1使下式成立②2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平15则称平稳过程具有各态历经性。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数）都经历了随机过程的所有可能状态。因此，欲求过程的数字特征，无需作无限多次的观察，只需做一次观察，用时间平均值代替统计平均值即可，从而使计算大为简化。注意：各态历经的随机过程必定是平稳过程，反之不一定成立。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平163.相关函数的性质设为实平稳过程，则它的自相关函数具有如下主要性质：（1）平均功率包括直流功率、交流功率/22/21(0)()limTTTRxtdtT−→∞=∫2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平17（2）这是因为这里利用了当τ→∞时，ξ(t)和ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计独立，且认为ξ(t)中不含周期分量。（3）当均值为0时，有2lim()lim[()()][()][()][()]REttEtEtEtτττξξτξξτξ→∞→∞=+=+=2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平18（4）证明：（5）证明：()[()()]()[()()][()()]()REtttuREtuEutRτξξτττξτξξξττ=⋅++=∴=−⋅=⋅−=−，令{}22[()()]0[()][()()](0)()EttEtEttRRξξτξξξττ±+≥∴≥±+≥即2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平194.频谱特性随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为2()()limTfTFPTωω→∞=2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平20式中，FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)（见书上图2-2）所对应的频谱函数。f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现，每一实现的功率谱密度也可用式（2.2-14）来表示。由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即2()()[()]limTfFPEPTξτωωω→∞==2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平21图2-2功率信号f(t)及其截短函数f(t)OtfT(t)tOT2－T2……2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平22ξ(t)的平均功率S则可表示成虽然上式（2.2-15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。2()11()22limTTEFsPdTξωωωππ∞∞−∞−∞→∞==∫∫2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平23可以证明：平稳过程的功率谱密度和自相关函数是一对傅里叶变换关系：即简记时域～频域当时，有[平均功率]2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平24功率谱密度性质：（1），非负性（2），偶函数归纳：满足平稳性质⑴各态经历：时间平均统计平均时域～频域2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平25三、高斯随机过程1定义：若随机过程的任意n维（n=1,2,...）分布都服从正态，则称它为高斯过程。2重要性质：（1）若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的；2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平26（2）若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；（3）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型；（4）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平273.一维概率密度和正态分布函数高斯过程在任一时刻上的取值是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为式中a、分别为期望，方差。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平28曲线如图：f(x)ax0图2-1正态分布的概率密度2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平29的特性如下：（1）对称于的直线（2）图1和（3）a表示分布中心，表示集中程度，图形将随着的减小而变高和变窄。当时，称为标准正态分布的密度函数。xa=2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平30正态分布函数引入：误差函数它是自变量的递增函数：，且221()()()exp22xzaFxPxdzξσπσ−∞−=≤=−∫202()xterfxedtπ−=∫2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平31互补误差函数它是自变量的递减函数：，且22()1()txerfcxerfxedtπ∞−=−=∫2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平32作变量代换，令，有则分布函数F(x)可用误差函数表示，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平33四、随机过程通过线性系统设线性系统的冲击响应为输入随机过程为，则输出随机过程若输入有界且系统是物理可实现的，则或00()()()ithtdξτξττ∞=−∫0()()()tithtdξξτττ−∞=−∫0()()()()()iitththtdξξξτττ∞−∞=∗=−∫2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平34利用以上关系可以证明：（1）若输入平稳，则输出也平稳，且有[][]OE()(0)E()itHtξξ=⋅2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平35（2）（3）若输入高斯过程，则输出也是高斯过程。即高斯过程经线性后的过程仍为高斯型。20()()()iPHPωωω=2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平36五、窄带随机过程其频谱和样本如图（a）S(f)0f⌂f⌂f−fcfc2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平37图2-2窄带过程的频谱和波形示意S(t)0缓慢变化的包络[a(t)]频率近似为fct2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平38窄带过程可表示为等价式()()cos[()],()0ctatttatξξξξωφ=+≥2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平39其中同相分量正交分量结论1：一个均值为零，方差为的平稳高斯窄带过程，它的同相分量正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平40即：且（互不相关或统计独立）[()][()][()]0csEtEtEtξξξ===222csξσσσ==2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平41结论2：一个均值为零，方差为的平稳高斯窄带过程，其包络～瑞利分布：相位～均匀分布：且（统计独立）222()exp,(0)2aafaaξξξξξξσσ=−≥1(),(02)2fξξφφππ=≤≤(,)()()fafafξξξξφφ=⋅2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平42六、正弦波加窄带高斯过程信号在传输过程中总会受到噪声的影响，接收信号往往是信号与噪声的合成波。正弦波加窄带高斯噪声是通信系统中常见的一种情况。设合成信号为()cos()()crtAtntωθ=++2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平43式中，为窄带高斯噪声，其均值为零；正弦波的振幅A和频率均为常数，在上均匀分布，则()[cos()]cos[sin()]sin()cos()sin()cos[()]ccscccSccrtAnttAnttzttzttztttθωθωωωωφ=+−+=−=+2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平44式中合成信号的包络和相位分别为()cos()()sin()ccssztAntztAntθθ=+=+221()()(),0()(),(02)()csscztztztzztttgztφφπ−=+≥=≤≤2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平45可以证明：包络服从广义瑞利分布，也称莱斯分布。其概率密度函数为式中，是零阶修正贝塞尔函数，当时，是单调上升函数，且有。如果A=0,则上式变为瑞利分布。2202221()exp()02zAzfzzAIzσσσ=−+≥2010年秋季信息科学与技术学院——诸燕平46七.白噪声和带