金融中的最优化问题

第三章金融中的最优化问题1、凸函数及其主要性质2、最优化问题和Kuhn-Tucker条件一、凸函数及其主要性质1、准备知识凸函数：设F：K→R为定义在线性空间X的凸集K上的实值函数。凹函数如果有那么称F为K上的严格凸函数。而-F称为K上凹函数承托函数：是一个定义在X的共轭空间X*上的实值函数，定义为其中，f,u表示f(u)1,021，，Kxx212111FxFxFxxufffu,sup,*一、凸函数及其主要性质2、几个经济学和金融学中的函数凸性的具体例子（1）利润函数设是企业的生产集，其中代表具有m种商品的商品空间。表示一种可行的生产活动，其中z的m个坐标中的正坐标分量代表这一生产活动的各种产出量，负坐标分量代表这一生产活动的各种投入量。V一般总假设为凸集，它意味着两次生产活动的凸组合仍为可行的生产活动。上的线性函数的经济意义是价格体系。于是V的承托函数的经济意义为企业的利润函数。其含义为企业所有可能的生产活动中可能得到的最大利润。这是因为p,z的含义是产出的总价值减去投入的总价值，即生产利润。mRVmRVzzm,,,zz21mRmRpzppVzV,supp一、凸函数及其主要性质（2）生产函数设为（单）产出是时的投入需求集。其含义是：对于任何中的（商品）投入都能生产（某商品的）产出y。是用来刻画一个企业的生产能力的。生产函数它是定义在投入商品空间中的实值函数。其含义为：用投入x至多可生产的产出量。与之间的关系如下：如果对于任何产出y,投入需求集总是凸集，那么由它和生产函数之间的关系可知，是拟凹函数。nRyVRyyVTnxxxx,,,21yVyVyxfRxyn丨VyVxfxfxf一、凸函数及其主要性质（3）期望效用函数设某经济活动者的期望效用函数为单变量函数。我们不妨设这里的自变量的含义就是收入。假设x,y=0为两种可能的收入；得到x的概率为p,得到y的概率为（1-p）。记这样的事件为（x,y,p）,由定义，这一事件的效用为此人对（x,y,p）这一事件中所包含的风险的态度可由这个值与的比较来刻画。该经济活动者可分为以下几种：风险中性者：风险厌恶者：风险爱好者：xuyupxpupyxu1,,pyxuyppxu,,1yppxu1pyxuyppxu,,1pyxuyppxu,,1二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件1、准备知识（1）数学规划问题即最优化问题这里F称为目标函数，称为不等式约束，称为等式约束。集合称为问题（P）的可行集。如果存在满足，那么称为问题（P）的解。而则称为问题（P）的值。.,2,1,;,,2,1,00.minPqjpixhxgxFtsjipixgi,2,1,00xhjpj,,2,1qjxhpixXxKji,2,1,0;,2,1,0g丨xˆxFxFxminˆˆxˆxFVxinf二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件现在我们来定义问题（P）的Lagrange函数为考虑到问题（P）的Lagrange函数形式，可知问题（P）的解也一定是下列问题的解问题是一个真正的无约束极值问题。这样的称为问题（P）中的Lagrange乘子，有时为了强调问题中有不等式约束，又将其称为Kuhn-Tucker乘子。RRRXLqp:xhxgxFxhxgxFxLjqjjipii11,,,,XxxLtsLˆ,ˆ,..minPLPqpRRˆˆ，二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件问题（P）中的Lagrange函数和Lagrange乘子可以有这样的经济解释：我们把F(x)理解成某种生产成本，x是投入，而投入的能力由不等式约束和等式约束来刻画。Lagrange函数中的可理解为破坏约束条件时的单位罚款。在这种惩罚下，企业只需考虑它的成本和罚款之间的和最小，不必考虑生产约束，而结果在一般情况下，仍与考虑约束时一样。xhxgxFxL,,,,，二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件（2）鞍点定理下列两个命题等价：i)是问题（P）的解，是问题（P）的Lagrange乘子；ii)是问题（P）的Lagrange函数的鞍点；即此外，这时还有如下松紧关系成立xˆˆˆ，ˆˆˆ，，xˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,,,xLxLxLRRXxqppixgii,,2,1,0ˆˆ二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件（3）Kuhn-Tucker定理设问题（P）为凸规划。其可行集，其值且满足那么存在p个非负实数；和q个实数使得xFVxinfKqipijiRgdomdomFhqjxhpixgdomFxS1000int0;,,2,1,0;,,2,1,0,0ˆˆ1p，，Rqˆˆ1，VxhxgxFgdomFdomxqjjjpiiipii111ˆˆ，二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件2、证券组合选择理论中的数学规划（1）均值-方差证券组合选择问题我们在第一章已经指出，Markowitz证券组合选择问题是如何确定使得证券组合在期望收益率一定时，风险（收益率的方差）最小。假定是n种证券的收益率（随机变量）不妨称为组合，为组合的收益，为组合的风险。这样，Markowitz组合问题为这一问题的解称为对应收益的极小风险组合。nrrr,,21.,,,,2,1,,,,,1,,1,,,,,2,1,,,2,1,11njijinjiijiiTnTTnrrCovVVnirEeT2/1VTnnTnTnjijijiTeVVts11211,,21..minM二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件结论定理在均值-方差证券组合选择问题（M）中，如果n种证券的期望收益率不全相同，收益率协方差矩阵V正定，组合的期望收益率给定，那么（M）有唯一解为其中i111AeVeVeAT1谢谢观赏