求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法：题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{MPM直接翻译成yx,的形式0),(yxf，然后进行等价变换，化简0),(yxf，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。例1过点)3,2(A任作互相垂直的两直线AM和AN，分别交yx,轴于点NM,，求线段MN中点P的轨迹方程。解：设P点坐标为),(yxP，由中点坐标公式及NM,在轴上得)2,0(yM，)0,2(xN),(RyxANAM1ANAMkk120322230yx)1(x，化简得01364yx)1(x当1x时，)3,0(M，)0,2(N，此时MN的中点)23,1(P它也满足方程01364yx，所以中点P的轨迹方程为01364yx。变式1已知动点(,)Mxy到直线:4lx的距离是它到点(1,0)N的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点(0,3)P的直线m与轨迹C交于,AB两点。若A是PB的中点，求直线m的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2动圆M过定点)0,4(P，且与圆08:22xyxC相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：根据题意4||||||MPMC，说明点M到定点PC、的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。42a2a，4c1222acb故动圆圆心M的轨迹方程为112422yx变式2在ABC△中，24BCACAB，，上的两条中线长度之和为39，求ABC△的重心的轨迹方程．解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BMCM．M∴点的轨迹是以BC，为焦点的椭圆，其中1213ca，．225bac∴．∴所求ABC△的重心的轨迹方程为221(0)16925xyy题型三相关点法此法的特点是动点),(yxM的坐标取决于已知曲线C上的点)','(yx的坐标，可先用yx,来表示','yx，再代入曲线C的方程0),(yxf，即得点M的轨迹方程。例3如图，从双曲线122yx上一点Q引直线2yx的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程分析：从题意看动点P的相关点是Q，Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点P的坐标为),(yx，点Q的坐标为),(11yx，则点N的坐标为)2,2(11yyxxN在直线2yx上，22211yyxx…①又PQ垂直于直线2yx，111xxyy，即011xyyx…②由①②解得123211212311yxyyxx…③又点Q在双曲线122yx上，12121yx…④③代入④，得动点P的轨迹方程为01222222yxyx变式3已知△ABC的顶点(30)(10)BC，，，，顶点A在抛物线2yx上运动，求ABC△的重心G的轨迹方程．解：设()Gxy，，00()Axy，，由重心公式，得003133xxyy，，00323xxyy，①∴．②又00()Axy，∵在抛物线2yx上，200yx∴．③将①，②代入③，得23(32)(0)yxy，即所求曲线方程是2434(0)3yxxy．题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标yx,，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4已知线段2AAa，直线l垂直平分AA于O，在l上取两点PP，，使有向线段OPOP，满足4OPOP·，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程．解：如图2，以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系．设点(0)(0)Ptt，，则由题意，得40Pt，．由点斜式得直线APAP，的方程分别为4()()tyxayxaata，．两式相乘，消去t，得222244(0)xayay．这就是所求点M的轨迹方程．变式4设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点BA，，O是坐标原点，l上的动点P满足)(21OBOAOP，点N的坐标为)21,21(，当l绕点N旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最小值与最大值.分析：（1）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出2121,yyxx，进而表示出点P坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将||NP表示成变量x的二次函数。解：（1）法一：直线l过点)1,0(M，当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为1kxy。设),(11yxA，),(22yxB，由题设可列方程为14122yxkxy将①代入②并化简得：032)4(22kxxk，所以2212214842kyykkxx于是)(21OBOAOP)2,2(2121yyxx)44,4(22kkk设点P的坐标为),(yx，则22444kykkx消去参数k得0422yyx…③当直线l的斜率不存在时，BA，的中点坐标为原点)0,0(，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为0422yyx。法二：设点P的坐标为),(yx，因),(11yxA，),(22yxB在椭圆上，所以141422222121yxyx④—⑤得：0)(4122212221yyxx所以0))((41))((21212121yyyyxxxx①②④⑤当21xx时，有0)(4121212121xxyyyyxx…⑥并且21212121122xxyyxyyyyxxx…⑦将⑦代入⑥并整理得0422yyx…⑧当21xx时，点BA，的坐标分别为)2,0(、)2,0(，这时点P的坐标为)0,0(，也满足⑧，所以点P的轨迹方程为141)21(16122yx。（2）由点P的轨迹方程知1612x，即4141x所以222)21()21(||yxNP22441)21(xx127)61(32x，故当41x时，||NP取得最小值，最小值为41；故当61x时，||NP取得最小值，最小值为621；