第39课时二次函数与几何综合类存在性问题

第39课时二次函数与几何综合类存在性问题第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起考查，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题，解决这类问题的一般思路是先假设结论存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理，则可肯定假设．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究探究一二次函数与三角形的结合例1[2014·内江]如图39－1，抛物线y＝ax2＋bx＋C经过点A(－3，0)，C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO.(1)求抛物线所对应的函数解析式．(2)线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交拋物线于点Q，求线段PQ的最大值．(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．图39－1第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(1)根据CB∥x轴，且AB平分∠CAO等几何条件，能求出点B的坐标吗？(2)为了求抛物线所对应的函数解析式已具备了哪些条件？(3)点P在哪儿，如何用x表示点P的坐标？事实上只要求出AB所在直线所对应的函数解析式就可以了．(4)线段PQ的两个端点在哪两个函数图象上，怎样表示它们的坐标，如何表示PQ的长？(5)△ABM是以AB为直角边的直角三角形存在以∠MAB为直角和以∠MBA为直角两种情况．【例题分层分析】第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题以二次函数、三角形为背景的有关点的存在性的问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变．【解题方法点析】第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解：(1)点A的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，4)，∴AC＝5.∵AB平分∠CAO，∴∠CAB＝∠BAO.∵CB∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO，∴∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC＝5，∴点B的坐标为(5，4)．将A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入y＝ax2＋bx＋c，得0＝9a－3b＋c，4＝c，4＝25a＋5b＋c，解得a＝－16，b＝56，c＝4，∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－16x2＋56x＋4.第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(2)设直线AB所对应的函数解析式为y＝kx＋n，把A(－3，0)，B(5，4)代入，得0＝－3k＋n，4＝5k＋n，解得k＝12，n＝32，∴直线AB所对应的函数解析式为y＝12x＋32.设点P的坐标为(x，12x＋32)，则点Q的坐标为(x，－16x2＋56x＋4)，PQ＝－16x2＋56x＋4－(12x＋32)＝－16(x－1)2＋83，故当x＝1时，线段PQ的值最大，最大值为83.第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)抛物线y＝－16x2＋56x＋4的对称轴是直线x＝52.要使△ABM是以AB为直角边的直角三角形，有两种情况：①当点B为直角顶点时，如图①所示．设抛物线的对称轴与BC交于点D，与AB交于点G，与x轴交于点H.由点G在直线AB和抛物线的对称轴上可知，点G的坐标为(52，114)．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题∵∠BDG＝90°，BD＝5－52＝52，DG＝4－114＝54，∴BG＝BD2＋DG2＝（52）2＋（54）2＝554.同理AG＝1154.∵∠AGH＝∠MGB，∠AHG＝∠MBG＝90°，∴△AGH∽△MGB，∴AGMG＝GHGB，即1154MG＝114554，解得MG＝254，∴MH＝MG＋GH＝254＋114＝9，故点M的坐标为(52，9)．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题②当点A为直角顶点时，如图②所示．设抛物线的对称轴与AB交于点G，与x轴交于点H.由①知GH＝114.∵∠GHA＝∠BAM＝90°，∴∠MAH＝90°－∠GAH＝∠AGM.∵∠AHG＝∠MHA，∠AGH＝∠MAH，∴△AGH∽△MAH，∴GHAH＝AHMH，即1143＋52＝3＋52MH，解得MH＝11，∴点M的坐标为(52，－11)．综上所述，存在点M，点M的坐标为(52，9)或(52，－11)．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题探究二二次函数与四边形的结合例2[2013·枣庄]如图39－2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋C的图象与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点．(1)求这个二次函数的解析式．(2)连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．图39－2第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题【例题分层分析】求四边形面积的函数解析式，一般是利用割补法把四边形的面积转化为三角形面积的和或差．【解题方法点析】(1)图中已知抛物线上几个点？将点B，C的坐标代入二次函数的解析式．(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么点P必在OC的垂直平分线上，由此能求出点P的坐标吗？(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解：(1)将B，C两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得9＋3b＋c＝0，c＝－3，解得b＝－2，c＝－3，∴这个二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(2)如图①，假设抛物线上存在点P(x，x2－2x－3)，使得四边形POP′C为菱形．连接PP′交CO于点E.∵四边形POP′C为菱形，∴PC＝PO，PE⊥CO，∴OE＝EC＝32，∴点P的纵坐标为－32，即x2－2x－3＝－32，解得x1＝2＋102，x2＝2－102(不合题意，舍去)，∴存在点P(2＋102，－32)，使得四边形POP′C为菱形．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)如图②，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设点P的坐标为(x，x2－2x－3)．由x2－2x－3＝0，得点A的坐标为(－1，0)．∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，－3)，∴直线BC的解析式为y＝x－3，∴点Q的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x2＋3x，∴S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝12AB·CO＋12PQ·BF＋12PQ·FO＝12AB·CO＋12PQ·(BF＋FO)＝12AB·CO＋12PQ·BO＝12×4×3＋12(－x2＋3x)×3＝－32x2＋92x＋6＝－32x－322＋758，第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题∴当x＝32时，四边形ABPC的面积最大．此时点P的坐标为32，－154，四边形ABPC的最大面积为758.第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题例3[2014·厦门]如图39－3，已知C＜0，抛物线y＝x2＋bx＋C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(x2＞x1)，与y轴交于点C.(1)若x2＝1，BC＝5，求函数y＝x2＋bx＋C的最小值；(2)过点A作AP⊥BC，垂足为P(点P在线段BC上)，AP交y轴于点M.若OAOM＝2，求抛物线y＝x2＋bx＋C顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．图39－3探究三二次函数与相似三角形的结合第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题【例题分层分析】(1)A(x1，0)，B(x2，0)转化为坐标轴上的线段是什么？能求出点C的坐标吗？(2)先根据点B，C的坐标，用待定系数法求出二次函数y＝x2＋bx＋C的解析式．(3)Rt△OAM∽Rt△OCB吗？如何证明？(4)由三角形相似，根据对应边成比例，得OCOB＝OAOM＝2，即OC＝2OB，所以－C＝2x2，利用x22＋bx2＋C＝0，求得C＝2b－4.将此关系式代入抛物线的顶点坐标，即可求得所求函数解析式．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．【解题方法点析】第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解：(1)∵x2＝1，∴OB＝1.∵BC＝5，∴OC＝2.∵c＜0，∴c＝－2.将B(1，0)代入y＝x2＋bx＋c，得1＋b－2＝0，解得b＝1，故二次函数的解析式为y＝x2＋x－2＝(x＋12)2－94，∴二次函数y＝x2＋x－2的最小值是－94.第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(2)∵AP⊥BC，∴∠PMC＋∠PCM＝90°.∵∠OAM＋∠OMA＝90°，∠OMA＝∠PMC，∴∠OAM＝∠PCM，∴Rt△OAM∽Rt△OCB，∴OAOM＝OCOB＝2，即OC＝2OB.∵x1＜0，x2＞0，∴－c＝2x2.第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题由x22＋bx2＋c＝0，得c＝2b－4，∴二次函数y＝x2＋bx＋c＝x2＋bx＋2b－4.它的顶点坐标是(－b2，－b2＋8b－164)．∵－b2＋8b－164＝－(－b2)2－4·(－b2)－4，∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是y＝－x2－4x－4(x＞－34)．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题例4[2014·长沙]如图39－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(a，116)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．(1)求a，b，c的值；(2)求证：在点P的运动过程中，⊙P始终与x轴相交；探究四二次函数与圆的结合第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)设⊙P与x轴相交于Mx1，0，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图39－4第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题【例题分层分析】(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过点(0，0)说明b，c是多少呢？由(a，116)你能求出a的值吗？(2)要判断⊙P与x轴的位置关系，即要比较点P到x轴的距离与圆的半径的大小；(3)△AMN为等腰三角形，分三种情况讨论：①当AN＝MN＝4时；②当AM＝MN＝4时；③当AM＝AN时．针对这三种情况分别求出点P的纵坐标．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．【解题方法点析】第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解：(1)a＝14，b＝0，c＝0.第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(2)设P(m，14m2)，如图，过点P作PH1⊥x轴于点H1，PH2⊥y轴于点H2，则AH2＝2－OH2＝2－14m2，PH2＝m，∴PA2＝m2＋(2－14m2)2＝116m4＋4.又∵PH21＝(14m2)2＝116m4，∴116m4＋4116m4，即PAPH1，∴⊙P始终与x轴相交．第39课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)由(2)知PN2＝116m4＋4，PH21＝116m4.由勾股定理，知NH1＝2，由垂径定理，得MN＝4.又∵