【拿高分,选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分 专题复习讲义《1-3-2数列的综合应用

回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三第2课时数列的综合应用回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三高频考点考情解读数列求和数列求和，多以解答题的形式出现，作为其中一问，内容可涉及通项公式、函数、方程、不等式等知识．数列与函数、不等式数列与函数不等式的综合多以解答题形式出现，内容涉及指数函数，对数函数，函数的单调性等知识，属中低档题．数列的实际应用数列的实际应用问题一般是等差数列或等比数列通项、求和问题，题目难度一般较大.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三1．数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三2．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三(2012·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三解析：(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.所以an＝4n－1，n∈N*由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1]＝(4n－5)2n＋5故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三(1)在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和．(2)用错位相减法求和时，应注意①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三1．(2012·宝鸡二测)设数列{an}的前n项和为Sn，点n，Snn(n∈N*)均在函数y＝2x－1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝4anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜1.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三解析：(1)由条件知Snn＝2n－1，即Sn＝2n2－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.又n＝1时，a1＝S1＝1符合上式，所以an＝4n－3(n∈N*)．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三(2)证明：因为bn＝4anan＋1＝44n－34n＋1＝14n－3－14n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n－3－14n＋1＝1－14n＋1.因为n∈N*，所以－14n＋1＜0，所以1－14n＋1＜1，即Tn＜1.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三设函数f(x)＝xax＋2，方程x＝f(x)有唯一解，其中实数a为常数，f(x1)＝22013，f(xn)＝xn＋1(n∈N*)．(1)求f(x)的表达式；(2)求x2011的值.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三解析：(1)由x＝xax＋2，可化简为ax(x＋2)＝x(a≠0)，所以ax2＋(2a－1)x＝0，当且仅当a＝12时，方程x＝f(x)有唯一解．从而f(x)＝2xx＋2.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三(2)由已知f(xn)＝xn＋1，得2xnxn＋2＝xn＋1，所以1xn＋1＝12＋1xn，即1xn＋1－1xn＝12(n∈N*)，所以数列1xn是以1x1为首项，12为公差的等差数列．所以1xn＝1x1＋(n－1)×12＝n－1x1＋22x1，故xn＝2x1n－1x1＋2.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三因为f(x1)＝22013，所以2x1x1＋2＝22013，解得x1＝11006.所以xn＝2×11006n－1×11006＋2＝2n＋2011，故x2011＝22011＋2011＝12011.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三数列与函数、方程的综合问题一般与函数的性质与图象、方程的解、数列中的基本运算等相联系，解决此类问题首先要实现三个方向的转化：(1)函数条件的转化，直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x换为n即可；(2)方程条件的转化，一般要根据方程解的有关条件进行转化；(3)数列向函数的转化，可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解，但要注意自变量取值范围的限制．对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三2．数列{an}中，a1＝t，a2＝t2，其中t≠0且t≠1，x＝是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1]x＋1(n≥2)的一个极值点．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求an.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三解析：(1)证明“f′(x)＝3an－1x2－3[(t＋1)an－an＋1]，根据已知得f′(t)＝0，即tan－1－(t＋1)an＋an＋1＝0，即an＋1－an＝t(an－an－1)因为t≠0且t≠1，所以数列{an＋1－an}是等比数列．(2)由于a2－a1＝t2－t＝t(t－1)，所以an＋1－an＝(t－1)tn.所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(t－1)tn－1＋(t－1)tn－2＋…＋(t－1)t＋t＝(t－1)×t1－tn－11－t＋t＝tn所以数列{an}的通项公式an＝tn(n∈N*)．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三(2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三解析：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4500－52d.an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.(2)由(1)得an＝32an－1－d＝3232an－2－d－d＝322an－2－32d－d＝…＝32n－1a1－d1＋32＋322＋…＋32n－2.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三整理得an＝32n－1(3000－d)－2d32n－1－1＝32n－1(3000－3d)＋2d.由题意，知am＝4000，即32m－1(3000－3d)＋2d＝4000，解得d＝32m－2×100032m－1＝10003m－2m＋13m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为10003m－2m＋13m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三在数列应用题中，如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型即为等差模型，增加(或减少)的量就是公差，则可把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，然后用等差数列知识对模型解析，最后再返回实际中去；如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比，解此类题型的思路同等差数列模型；如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑an与an＋1的递推关系，或考虑前n项和Sn与Sn＋1的递推关系．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三3．某市投资甲、乙两个工厂，2011年两工厂的年产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n年比上一年增加2n－1万吨．记2011年为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为an，bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题三解析：(1)因为{an}是等差数列，a1＝100，d＝10，所以an＝10n＋90.因为bn－bn－1＝2n－1，bn－1－bn－2＝2n－2，…，b2－b1＝2，所以bn＝100＋2＋22＋…＋2n－1＝2n＋98.(2)当n≤5时，an≥bn且an＜2bn.当n≥6时，an≤bn，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并．2an＜bn即2(10n