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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第一章空间几何体成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2空间几何体第一章第一章空间几何体成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2章末归纳总结第一章第一章空间几何体成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题突破2知识结构1第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2知识结构第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题突破第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题一几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章的难点，也是重点．解题需要依据它们的概念及画法规则，同时还要注意空间想象能力的运用．三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．三视图和直观图联系密切，由空间几何体的直观图可以画出它的三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何体的直观图．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体轮廓线的正投影围成的平面图形．画三视图时首先要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影的视线想象成平行光线，从正前方．．．、正左方．．．、正上方．．．射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．从三视图可以看出，正视图反映几何体的长和高，侧视图反映它的宽和高，俯视图反映它的长和宽．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(河南郑州2014～2015第一次质量预测)已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱[解析]结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱．故选C．[答案]C第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：本题考查了立体几何中的空间想象能力，由三视图能够想象到空间中的实物图，也可以从选项去分析，看各选项的三视图是否符合题中所给的三视图，从而确定答案．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题二柱体、锥体、台体的表面积和体积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(1)在求解空间几何体的表面积问题时，常将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题的常用方法．(2)将一些不规则的几何体进行修补(补形法)，或者将一些几何体进行分割(分割法)，或者通过变换顶点和底面，利用体积相等求解(等积法)等是求空间几何体体积的重要思想方法．例如，常见的将三棱柱补成四棱柱，四棱锥分割成三棱锥，再利用四棱柱、三棱锥的特殊性求体积．又如将三棱锥的顶点和底面进行交换，利用体积相等求体积或求几何体的高．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2015·河南安阳第一次调研)如图所示为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的表面积为()A．6＋3π＋22B．2＋4π＋42C．8＋5π＋22D．2＋3π＋42第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径为1，高是2，所以组合体的表面积是S＝π＋2×2＋2×2×2＋π×2＝3π＋2＋42，故选D．[答案]D[点评]解这类题要由三视图还原为直观图，并特别注意三视图的各个量与几何体各个量的关系．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2013·湖北·理科)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]由题设以及三视图可知，该几何体从上到下依次由圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别为V1＝13π×1×(22＋12＋22×12)＝7π3，V2＝12×π×2＝2π，V3＝2×2×2＝8，V4＝13×1×(42＋22＋42×22)＝283.∵283＞8＞7π3＞2π，∴V2＜V1＜V3＜V4.[答案]C第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题三球与其他几何体的简单组合体问题球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此类问题常常利用截面来表现这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化为平面问题．(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过圆心，二要过长方体或正方体的两条对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积．[解析]作出轴截面，利用三角形及其内切圆之间的关系，求得球的半径．如图作出轴截面，因为△ABC是正三角形，所以CD＝12AC．因为CD＝1cm，所以AC＝2cm，AD＝3cm.第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以OECD＝AOAC.设OE＝R，则AO＝3－R，所以R1＝3－R2，所以R＝33(cm)，所以V球＝43π(33)3＝4327π(cm3)．所以球的体积等于4327πcm3.[点评]圆锥的底面半径为1，其轴截面是边长为2的正三角形，则问题转化为求此正三角形内切圆的半径问题．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题四转化与化归思想在解决具体问题时，常把复杂的、生蔬的、抽象的、困难的、未知的问题化成简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，这种数学思想叫转化与化归的思想．(1)“化曲为直”是解决立体几何问题最基本和最常用的方法，解决的关键是在空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系．几何体表面上两点间的最小距离问题常常转化为求其展开图中的直线段长．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，但转化与化归的思想一直贯穿其中．①将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题；②三棱锥通过转化底面和顶点从而达到求体积的目的．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如下图1所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC－A′B′C′的体积V＝12Sa.[分析]本题有两种证法，即利用“分割”和“补形”来解决．第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[证法1]如图2所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．三棱柱体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是13V，而四棱锥A′－BCC′B′的体积为13Sa，故有13V＋13Sa＝V，所以V＝12Sa.第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[证法2]如右图所示，将三棱柱ABC－A′B′C′补成一个四棱柱ABDC－A′B′D′C′，其中AC∥BD，CD∥AB，即四边形ABDC为一个平行四边形，显然三棱柱BDC－B′D′C′的体积与原三棱柱ABC－A′B′C′的体积相等．以BCC′B′为底面，点A′到面BCC′B′的距离为高，显然补形后的四棱柱的体积为Sa，故原三棱柱ABC－′A′B′C′的体积V＝12Sa.第一章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[方法提炼](1)几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的”补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．(3)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．由台体的定义，我们在某种情况下，可以将台体补充成锥体研究体积．