文科立体几何解答题类型总结及其答案

1FECADBA1C1B1BCADFEABCMNA1B1C1BCB1A1C1ADC1D1B1A1CDABEFFACBB1C1A1D《立体几何》解答题1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD,AD⊥BD，点E,F分别是AB,BD的中点.求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD.2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）平面A1FD⊥平面BB1C1C.（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M、N分别为A1B、B1C1的中点.（Ⅰ）求证：BC∥平面MNB1；（Ⅱ）求证：平面A1CB⊥平面ACC1A1．4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC,点D是AB的中点.（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？5.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，Ｅ为BC的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面AB1E；（Ⅱ）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥C－ABD的体积.6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为AA1的中点.求证：（Ⅰ）A1C∥平面FBD；（Ⅱ）平面FBD⊥平面DC1B.（第5题）（第6题）（第7题）7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1；（Ⅲ）如果AB＝1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.8.正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2BB1,设B1DBC1＝F.（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1D.（第8题）9.如图所示,在直四棱柱ABCD－A1B1C1中,DB＝BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.(Ⅰ)求证：B1D1∥面A1BD；(Ⅱ)求证：MD⊥AC；(Ⅲ)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.C1D1B1CDABA1F2MABCDA1B1C1D1MABDCENFA1B1ABC1CEFDDCABPQMABCMPDDEB1A1C1CABFM10.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝60°,若PA＝PD＝5，平面PAD⊥平面ABCD.(Ⅰ)求四棱锥P－ABCD的体积；(Ⅱ)求证：AD⊥PB；(Ⅲ)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？（第9题）（第10题）（第11题）（第12题）11.如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证：AE⊥BE；(Ⅱ)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．12.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3,BC＝2,D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF＝2，E是AA1上一点，且AE＝2.(Ⅰ)求证：B1F⊥平面ADF；（Ⅱ）求证：BE∥平面ADF.13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点.（Ⅰ）若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.14.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4,BD＝34，AB＝2CD＝8.（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P－ABCD的体积．（第13题）（第14题）（第16题）16.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,AC⊥BE.求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.17.如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；3FGGABCDECABDEFDCPAB（第18题）EAPDBCF图甲ADBCP图乙ADBCPEFBDACEFDCABFEP（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得面BDR⊥面DCB，并说明理由.（第17题）18.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PAB平面PCDl，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.19.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；（Ⅱ）求证：CF∥平面BAE.（第19题）20.如图,ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝4a，BC＝CF＝2a，P为AB的中点.（Ⅰ）求证：平面PCF⊥平面PDE；（Ⅱ）求四面体PCEF的体积.（第20题）（第21题）21.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ACB＝90°,E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CG⊥C1G.(Ⅰ)求证：CG∥平面BEF；(Ⅱ)求证：CG⊥平面A1C1G.22.如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.23.已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，（第23题）∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，ADAFACAE（10）.（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？4ABCMNA1B1C1EBCB1A1C1ADFECADBA1C1B1BCADFE《立体几何》解答题参考答案1.证明：（Ⅰ）∵E、F分别是AB、BD的中点,∴EF是△ABD的中位线∴EF∥AD又∵EF面ACD，AD面ACD,∴直线EF∥面ACD（Ⅱ）∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,∵CB＝CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD又EFCF＝F,∴BD⊥面ECF,∵BD面BCD,∴面EFC⊥面BCD2.证明：（Ⅰ）因为E,F分别是A1B,A1C的中点，所以EF∥BC，又EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF∥平面ABC；（Ⅱ）因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C.所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）3.证明：（Ⅰ）因BC∥B1C1，且B1C1平面MNB1，BC平面MNB1，故BC∥平面MNB1．（Ⅱ）因BC⊥AC，且ABC－A1B1C1为直三棱柱，故BC⊥平面ACC1A1．因BC平面A1CB，故平面A1CB⊥平面ACC1A1．4.证明：（Ⅰ）∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1,∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB,面ABC面A1ABB1＝AB∴CD⊥平面A1ABB1（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.（Ⅲ）存在点M为B.由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB，又A1B平面A1ABB，∴CD⊥A1B∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．∴A1A:AB＝BD:BB1＝1:2,∴A1B⊥B1D,又CDB1D＝D,∴A1B⊥平面CDB1.5.解：（Ⅰ）∵棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，且E为BC的中点，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，又AE⊥BC且AE平面ABC,∴AE⊥平面BCC1B1而D为CC1中点，且BD平面BCC1B1∴AE⊥BD由棱长全相等知Rt△BCD≌Rt△B1BE,即111+=+90CBDBEBBBEBEB，故BD⊥B1E,又AEB1E＝E，∴BD⊥平面AB1E（Ⅱ）由AE⊥平面BCC1B1知∠AB1E是直线AB1与平面BB1C1C所成的角，设为∵正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2,∴在Rt△AEB1中136sin422AEAB（Ⅲ）CABDACBDVV11132133323BCDSAE6.证明：（Ⅰ）连结AC,设ACBD＝O.∵F为AA1的中点，O为AC的中点∴FO∥A1C∵A1C平面BFD，FO平面BFD∴A1C∥平面BFDOFC1D1B1CDABA15FFC1D1B1A1CDABEFEFACBB1C1A1DMABCDA1B1C1D1NN1O（Ⅱ）设正方体棱长为1.∵23,26,22,2311FCOCOCFO∴21212FCOCFO∴FO⊥OC1又∵AA1⊥平面ABCD∴AA1⊥BD∵BD⊥AC∴BD⊥平面A1ACC1∵FO平面A1ACC1∴BD⊥FO∵BDC1O＝O∴FO⊥平面BDC1∵FO平面BFD∴平面BFD⊥平面C1BD另证：∵122CCAOOCFA∴Rt△FAO∽Rt△OCC1∴∠FOA＝∠OC1C∴∠FOA＋∠COC1＝∠OC1C＋∠COC1＝90°∴∠FOC1＝90°∴FO⊥OC17.（Ⅰ）证明：连结BD.在长方体AC1中，对角线BD∥B1D1.又E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1.（Ⅱ）证明：在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（Ⅲ）解：最小值为23.如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为23.8.证明：（Ⅰ）连结A1B,设A1B与AB1交于E,连结DE∵点D是BC的中点，点E是A1B的中点∴DE∥A1C∵A1C平面AB1D,DE平面AB1D∴A1C∥平面AB1D（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1＝BC，AD平面ABC∴AD⊥平面B1BCC1∵BC1平面B1BCC1∴AD⊥BC1∵点D是BC中点，BC＝2BB1∴BD＝22BB1∵2211BCCCBBBD∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1∴∠BDB1＝∠BC1C,∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°∴BC1⊥B1D∵B1DAD＝D∴BC1⊥平面AB1D9.(Ⅰ)证明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,且BB1＝DD1.所以BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD(Ⅱ)证明：因为BB1⊥面ABCD,AC面ABCD，所以BB1⊥AC又因为BD⊥AC,且1BDBBB