数学物理方法保角变换法

第十一章求解定解问题的其它解法求解数理方程，除了行波法、分离变量法外，还有其他的常用解法：格林函数法；积分变换法；保角变换法等一些解析法。11.1保角变换法求解定解问题在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题．尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解决．对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保角变换法求解．保角变换法解定解问题的基本思想：通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）将Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换就求得了原始定解问题的解．这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法――保角变换法。保角变换法是解决这类复杂边界的最有效方法，特别适合于分析平面场的问题。例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。11.1.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数()fzw实现的从Z平面到W平面的变换在()0fz的点具有保角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定()fzw和它的反函数都是单值函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一叶．定理11.1.1如果将由izxy到iuwv的保角变换看成为二元（实变）函数(,)xy的变换由,xy到,uv的变量代换，则z平面上的边界变成了w平面上的边界．我们能证明，如果(,)xy程，则经过保角变换后得到的满足拉普拉斯方(,)uv也满足拉普拉斯方程．【证明】利用复合函数求导法则有2222222222222()()2uxuxxuuxuxuxxuxuxxvvvvvvvv(11.1.1)同理2222222222222()()2uuyuyuyyuyuyyvvvvvv(11.1.2)两式相加得到222222222222222222222[()()]+[()()]+()()+2(+)uuxyxyuxyuuxyuxyuuxxyyuvvvvvvvvv（11.1.3）利用解析函数()ifzuwv的C-R条件,uuxyxyvv(11.1.4)以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质222222220,0uuxyxyvv(11.1.5)将式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化简后得到222222222222222[()()](+)|()|(+)ufzxyxxuuvvv注意到上式已经使用了：()iufzxxvw对于保角变换()0,fzw因而只要(,)xy满足拉普拉斯方程，则(,uv）也满足拉普拉斯方程，即为222222220(+)0xyuv（11.1.6）这样我们就有结论：如果在izxy平面上给定了(,)xy的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换()fzw，可以将它转化为iuwv平面上(,uv)的拉普拉斯方程边值问题．同理可以证明，在单叶解析函数()fzw=变换下，泊松方程2222(,)xyxy(11.1.7)仍然满足泊松方程（11.1.8）)],(),,([)(12'2222vuyvuxzfvu由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度发生了变化．对于波动问题和输运问题，同理可以证明，亥姆霍兹方程222220kxy(11.1.9)经变换后仍然服从亥姆霍兹方程(11.1.10)0)(2'22222zfkvu注意到方程要比原先复杂，且前的系数可能不是常系数．保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，先介绍常用到的一些保角变换．11.1.2常用的几种保角变换(1)平移变换azw将z平面上的图形整体平移一个矢量a。(2)线性变换bazw1argj2ezzaabzz/12zaw平移旋转伸缩(3)反演变换iierRwrez2,则令：zRw2)0(022'zzRw保角性：保圆性：保对称性：Z平面内关于原点O对称点P、Q变换为w平面上的像P’、Q’也关于原点O’对称。OPQR_________________2OROQOP(4)分式线性变换)(bcaddczbazwCBzAwcaCcdBcadbcA,,2保圆性；保对称性；上式可写成其中：例题12i,2izz区域：111zzw212wwi22iww(-1,0)(1,0)21111'11zzzzdzdw例题211,2zz区域：201zzw1πi2ww2121'01zzzzdzdw1/22wew上半平面(5)幂函数变换令则该变换的特点是把z平面的圆周变换成w平面的圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周；把以原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角形域，但其张角为原来的的n倍。jerznrnnzwjew讨论变换若均匀场在w平面上是具有平行于两坐标轴的直线族，则此变换将w平面的正实轴变换成z平面上的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成z平面上的正虚轴，这样w平面的上半平面变换成z平面的第一象限，如图所示。反之亦然.yxz平面W平面uv2/12wzzw或(6)对数变换对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变换。先研究指数变换令，得可知：z平面上的直线x=常数变换到w平面上的圆周常数，而直线y＝常数变换成射线＝常数。,xeyezwje,jwyxz因此，指数变换的特点是：把水平的带形城变换成角形awarg0z(W平面))(ux)(vyw(z平面))(yv)(xuπ)2(Im0aaz对于对数变换取极坐标系则故可见：在w平面上常数的直线在z平面表示一族圆；＝常数表示一族径向射线。zwlnvru,lnuvjlnrwjerz例1试求平面静电场的电势分布(,)xy，其中0(Im0)z12(0)(,0)(0)VxxVx【解】lnzwzw变换使上半平面变成平面上的带形域,然的，类似于上面定解问题的结果,则本定解问题可归结为而在带形域上的解是显11.1.3保角变换法求解定解问题典型实例12(,)πVVuvvxyuOO1v2v1v2vvz平面w平面πilnzw而ilnlniarguzzzwv所以argzv于是，作反变换便可求得所求问题的解为121212(,)argarctanπππVVVVVVyxyzx12(0π)(π2π)vvv试用保角变换法求解一半径为a的无限长导体圆柱壳内的电场分布情况．【解】即求解定解问题2120()(0π)(π2π)aavvvv例2若把柱面充电到作如下的保角变换(1)作变换azz1把原图象缩小为a1倍．即将任意的圆周变换为单位圆．(2)再作变换把11z变换为0Im2z，其边界的变换是将下半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴．11211zzizz平面x01z平面1x1y2x1v2v2z平面平面πiy2y（3）再作变换2lnz2z把平面的上半平面变成平面上平行于实轴，宽为π的一个带形区域，其边界的2z2zImπ变换是将平面的正半实轴变换为平面的实轴，平面的负半实轴变换为平面的平行于实轴的直线所以，在变换lniazaz之下，定解问题变换为201π20vvvvv定解问题的解（仿上例）为21211Imππvvvvvv将变量回到z平面，则2112112222121112112121222222Im[ln(i)]πIm{ln[i()]ln[()i]π[arctanarctan]arctanππ2π22[arctan]arctanπ22πazazyaxxayaxyaxyyxaayayayaxyaxyvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv化成极坐标形式，则上式又改写成1212222sin(,)arctg,()2πaaavvvvv从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界所围成的区域变换成上半平面的带形域0Imπ问题就容易解决了．解：用保角变换法由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。2yx2121π2uv例3两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径分别为R1、R2，电势分别为、。求导体内任一点的电势。1zwln将z平面上的圆变成w平面上的直线区域，其宽度为。其间的电势满足所以，利用平行板电容器计算公式，得单位长度的电容为其中π202222vu120π2vvvSC2112ln,lnRvRv例4用保角变换法求解下列定解问题：0)20,(0210212RrRrRrR作业：p376，1，2，6（1）、（2）这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐，过期不候！