2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习

实用文档文案大全2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习考点1：两异面直线所成的角例1.如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（C）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°变式训练：1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA中点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为(C)（A）1010(B)15(C)31010(D)352.如图，直三棱柱111ABCABC，90BCA，点1D、1F分别是11AB、11AC的中点，实用文档文案大全1BCCACC，则1BD与1AF所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．10153.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱111ABCABC,12CACCCB,则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）A．55B．53C．255D．35第3题图第4题图第5题图4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．455.（2012年高考（四川文理））如图,在正方体1111ABCDABCD中,M、N分别是CD、1CC的中点,则异面直线1AM与DN所成角的大小是____________.90º6.（2011年全国二文15）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．237.已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是。8（2011年上海文）已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，高12AA，求（1）异面直线BD与1AB所成角的余弦值；1010（2）四面体11ABDC的体积.DCBAD1C1B1A11A1D1C1BDBCANMB1A1C1D1BDCA实用文档文案大全AB考点2：直线与平面所成的角例3.正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（D）（A）23（B）33（C）23（D）63例4.（2011年天津文17）如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．图1－7图1－8【解答】(1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝12PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52.从而AN＝12DO＝54.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.变式训练9.（20008福建卷理）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(D)A.63B.265C.155D.105第9题图第10题图第11题图实用文档文案大全10.（2010四川文理15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是.3411.已知长方体1111ABCDABCD中11,2,3DADCDD，求直线1BB与平面11ABC所成的角。12.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AECPDB平面；（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.13.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。实用文档文案大全【解析】（I）//ADBCPAD是PA与BC所成角在ADP中，,1,2ADPDADBCPDtan2PDPADAD异面直线PA与BC所成角的正切值为2（II）,,ADPDADDCPDDCDAD面PDCAD面ABCD平面PDC平面ABCD（III）过点P作PECD于点E，连接BE平面PDC平面ABCDPE面ABCDPBE是直线PB与平面ABCD所成角2,231203,1CDPDPCPDCPEDE在RtBCE中，22221013BEBCCEPBBEPE在RtBPE中，39sin13PEPBEPB得：直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为391314.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.[中国^教*~育出#版%【答案】【解析】（Ⅰ）因为,,.PAABCDBDABCDPABD平面平面所以又,,ACBDPAAC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而PC平面PAC，所以BDPC.实用文档文案大全（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC，知BDPO.在RtPOD中，由DPO30，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以,AODBOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为111(42)3,222ADBC于是梯形ABCD面积1(42)39.2S在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2ODAD所以22242,4.PDODPAPDAD故四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13VSPA算得体积.15.（2011年·湖南文19）如图1－5，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．图1－5实用文档文案大全课标文数19.G5，G11[2011·湖南卷]【解答】(1)因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO.而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.(2)由(1)知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC.图1－6连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角．在Rt△ODA中，OD＝OA·sin30°＝12.在Rt△POD中，OH＝PO·ODPO2＋OD2＝2×122＋14＝23.在Rt△OHC中，sin∠OCH＝OHOC＝23.故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为23.考点3：二面角例5.11.如图，在底面为平行四边表的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：ACPB；（Ⅱ）求证：//PB平面AEC；（Ⅲ）求二面角EACB的大小.例6.（2011浙江文20）如图1－7，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．(1)证明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，求二面角B－AP－C的大小．实用文档文案大全图1－7课标文数20.G11[2011·浙江卷]【解答】(1)证明：由AB＝AC，D是BC中点，得AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC，因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥AP.(2)如图，在平面APB内作BM⊥PA于M，连CM.因为BC⊥PA，得PA⊥平面BMC，所以AP⊥CM.故∠BMC为二面角B－AP－C的平面角．在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝41.在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，所以PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，得PB＝6.在Rt△POA中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5.又cos∠BPA＝PA2＋PB2－AB22PA·PB＝13，从而sin∠BPA＝223.故BM＝PBsin∠BPA＝42.同理CM＝42.因为BM2＋MC2＝BC2，所以∠BMC＝90°，即二面角B－AP－C的大小为90°.变式训练：16.（09陕西文）如图，直三棱柱111ABCABC中，AB=1，13ACAA，∠ABC=600.(Ⅰ)证明：1ABAC；（Ⅱ）求二面角A—1AC—B的正切值。CBAC1B1A1实用文档文案大全17.（07湖南文）如图3，已知直二面角PQ，PQA，B，C，CBCA，45BAP，直线CA和平面所成的角为30.(Ⅰ)证明BCPQ；(Ⅱ)求二面角BACP的正切值.18.如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．巩固与提高1.如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。ACBPADBCA1D1B1C1E图5实用文档文案大全2.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴90DEC，即DE⊥EC．在长方体ABCD－1111DCBA中，BC⊥平面11DCCD，又DE平面11DCCD，∴BC⊥DE．又CBCEC，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．(2)解：如图，过E在平面11DCCD中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－1111DCBA中，∵面ABCD⊥面11DCCD，∴EO⊥面ABCD．过