初中数学几何模型

经典模型系列手册~1~模型一：手拉手模型—全等等边三角形EODCCDOEOABEABCDOE~1~ABAB条件：OAB,OCD均为等边三角形结论：①OAC≌OBD;②AEB60③OE平分AED（易忘）等腰RT条件：OAB,OCD均为等腰直角三角形结论：①OACOBD≌;②90AEB③OE平分AED（易忘）OABECDDCEBAOABEO导角核心图形经典模型系列手册~2~经典模型系列手册~3~任意等腰三角形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：②OCDEOCD①OAOB，OCOD且AOBCOD结论：①OAC≌OBD;②AEBAOBAOBCOD③OE平分AED（易忘）OEAOEDOABOBAABAB条件：OAB,OCD均为等腰三角形经典模型系列手册~3~手拉手模型—全等总结ABAB条件：OAB,OCD均为等腰三角形OCDEOCDABAB条件：两个等腰三角形；顶角相等；顶角共点。结论：顶角的两条边分别相连组成的新三角形全等(三角形OAC≌三角形OBD）。构成8字相似三角形(图中有4对8字形相似）。OEAOEDOABOBA结论：①OAC≌OBD;②AEBAOB③OE平分AED（易忘）模型二：手拉手模型—相似非常重要的结论，必须会熟练证明OABCDOABCD经典模型系列手册OCD∽OABOAC∽OBD且延长AC交BD与点E必有ΑEBAOB~1~~4~条件：CD∥AB，将OCD旋转至右图位置结论：右图经典模型系列手册~5~手拉手相似（特殊情况）还会隐藏tanBDODOBOCDACOCOA满足BDAC,若连结AD、BC,则必有2222ADBCABCD12ABCDSACBD（对角线互相垂直四边形）EOCABDOCABD当AOB90时，除OCD∽OABOAC∽OBD之外模型三：对角互补模型（全等型—90°）条件：①90AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOC辅助线之一：作垂直，证明CDMCEN≌EDCBOANMAOBCDE经典模型系列手册~1~~1~~6~经典模型系列手册~7~条件：①90AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOC辅助线之二：过点C作CFOC证明ODCFEC≌FAOBCDE当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之一）①CDCE不变②2OEODOC（重点）③212OCEOCDSSOC（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握MNEDCBOA经典模型系列手册~1~~8~经典模型系列手册~9~当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①CDCE不变②2OEODOC（重点）③212OCEOCDSSOC（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握FAOBCDE细节变化：若将条件“OC平分AOB”与结论“CDCE”互换条件：①90AOBDCE②CDCE结论：①OC平分AOB；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOCEDCBOA经典模型系列手册~7~~10~经典模型系列手册~11~（全等型—120°）条件：①2120AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②ODOEOC③234ODCEOCDOCESSSOC请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明ODACEB辅助线之二：在OB上取一点F，使OF=OC证明OCF为等边三角形（重要）结论：①CDCE；②ODOEOC③234ODCEOCDOCESSSOC必须熟练，自己独立完成证明FBECADO经典模型系列手册~12~经典模型系列手册~13~当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握ODACEBF（全等型—任意角）条件：①2AOB,1802DCE②CDCE结论：①OC平分AOB；②2cosODOEOC③2sincosODCEOCDOCESSSOC难度较大，记得经常复习OBECDA经典模型系列手册~14~经典模型系列手册~15~当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握请思考初始条件的变化，对模型的影响OBECDA（对角互补模型--相似型）如图，若将条件“OC平分AOB”去掉条件：①90AOBDCE不变，COE，结论中三个条件又该如何变化？结论：①tanCECD；②(tan)cosODOEOC③21tantan2OCDOCESSOCOADCEBMNBECDAO经典模型系列手册~16~经典模型系列手册~17~证明：过点C作CFOC，交于点∵90DCEOCF∴DCOECF∵180AOBDCE∴180CDOCEO∴CDOCEF∴CDOCEF∽∴tanEFCECFDOCDCO（关键步）FOADCEB∴结论①得证∴tanEFOD∵()cosOEEFOC∴结论②得证∴2()tanCEFCDOSCFSCO∴2tanCEFCDOS∵OCECEFOCFSSS且21tan2OCFSOC∴结论③得证难度非常大，请仔细认真复习经典模型系列手册~18~经典模型系列手册~19~对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线②初始条件：角平分线与两边相等的区别③常见两种辅助线的作法④注意下图中“OC平分AOB”CDECEDCOACOB相等是如何推导EDCBOA角含半角模型(90°)条件：①正方形ABCD；②45EAF结论：①EFDFBE②CEF周长为正方形ABCD周长一半也可以这样：条件：①正方形ABCD；②EFDFBE结论：①45EAF口诀：角含半角要旋转FEDCBAGABCDEF经典模型系列手册~20~经典模型系列手册~21~角含半角模型(90°)条件：①正方形ABCD；②45EAF结论：①EFDFBE辅助线：ABCDEFABCDEFFEDCBA角含半角模型(90°)条件：①等腰直角ABC；②45DAE结论：222BDCEDE若DAE旋转到ABC外部时结论：222BDCEDE仍然成立EDCBAFABCDEFEDCBAABCDE经典模型系列手册~22~经典模型系列手册~23~角含半角模型(90°)变形条件：①45EAF;结论：AHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接（方法不唯一）∵45DACEAF,∴DAHCAE∵45ADHACE,∴ADHACE∽∴DAACAHAE∴AHEADC∽HGABCDEFHGABCDEF经典模型系列手册~3~半角模型总结半角模型：角含半角；角两边相等：AB=AC。条件：四边形对角和为180°:结论：①EF=DF±BE(半角在外+变-）；②AE、AF分别平分∠BEF和∠DFE（半角在外只有一条角平分线）;③△CFE周长=BC+DC（半角在外不成立）FEDCBA条件：∠A为任意角的半角模型，相邻角∠B=∠D=90°,∠B和∠D为对角：结论：A到EF的距离等于AB(半角在内在外都成立）。条件：半角45°（等腰直角三角形或正方形）：结论：BD²+CE=DE²(半角在内在外都成立）。ABCDE倍长中线类模型条件：①矩形ABCD；②BDBE③DFEF结论：AFCF模型提取：①有平行线ADBE∥②平行线间线段有中点DFEF可以构造8字全等ADFHEF≌HHBEFDAFEDCBA经典模型系列手册~24~经典模型系列手册~25~倍长中线类模型条件：①平行四边形；ABCD②2BCAB；③结论：3EMDMEA辅助线:有平行ABCD∥，有中点延长EM，构造AMEDMF≌，连接CM构造等腰EMC,MCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化FABCDEMMEDCBAAMDM；④CEAB相似三角形360度旋转模型（倍长中线法）条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：延长DF到点G，使FGDF，连接CG、BG、证明BDG为等腰直角突破点：ABDCBG≌难点：证明BADBCGGABCDEFFEDCBA经典模型系列手册~26~经典模型系列手册~27~相似三角形360度旋转模型（补全法）条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EHHGFEDCBAABCDEF任意相似直角三角形360度旋转模型（补全法）条件：①OABODC∽②；③结论：①AEDE；②2AEDABO辅助线：延长BA到点G，使AGAB，延长CD到点H使DHCD，补全OGB、OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG与BH，难点在转化OHGABECDEDCBAO经典模型系列手册~28~经典模型系列手册~29~任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）条件：①OABODC∽结论：①AEDE；②2AEDABO辅助线：延长DE至M，使MEDE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO∽，此为难点，将AMDABO∽继续转化为证明ABMAOD∽,使用两边成比且夹角等此处难点在证明ABMAODMABECDOABECDO②CEOABODC90；③BE最短路程模型之一（将军饮马类）\总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决特点：①动点在直线上；②起点，终点固定PA+PQ+BQPA+PBl2l1B'A'QPBAPlB'BAAP+PQ+QBAP+PQ+QBl1l2A'QPBAlA'QPB'BA经典模型系列手册~30~经典模型系列手册~31~最短路程模型之二（点到直线类）条件：如右图①OC平分AOB②M为上一定点③P为OC上动点④Q为上动点求：MPPQ最小时，P、Q的位置辅助线：将作Q关于OC对称点'Q，转化'PQPQ，过点M作MHOA'MPPAMPPQMH（垂线段最短）HQ'QPMCBOAPA垂线段最短最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，12BPAP最短结论：以A为顶点作30PAC，过点P作PQAC，转化12PQAP,过点B作的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短）所求点定点动点定点CQABPllPBA经典模型系列手册~32~经典模型系列手册~33~最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，22BPAP最短结论：以A为顶点作45PAC，过点P作PQAC，转化12PQAP,过点B作的垂线与AP的交点为所求所求点定点动点定点CQABPllPBA最短路程模型之二（点到直线类）条件：(0,4)A、(2,0)B，(0,)Pn问题：n为何值时，55PBPA值最小结论：①x上取点(2,0)C，使5sin5OAC②过点B作BDAC，交y轴于点为所求③1tantan2EBOOAC