立体几何10道大题

1立体几何练习题1.四棱锥ABCDS中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC面ABCD，已知45ABC，2AB，22BC，3SCSB.（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：ABl//；（2）求证：BCSA；（3）求直线SD与面SAB所成角的正弦值.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，AD=AC=1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD的中点。（1）证明：PB//平面ACM；（2）证明：AD平面PAC（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。23.如图，四棱锥PABCD中，90ABCBAD，2BCAD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：CD平面PBD；（2）求二面角CPBD的平面角的余弦值．4.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．5.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD平面ABPEAB，且2ABBP，1ADAE，AEAB，且//AEBP．（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角DPEA的余弦值.36.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．7.在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）求证AB⊥面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．8.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．49.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角．10.如图，在等腰梯形ABCD中，//ABCD，1ADDCCB，60ABC，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，1CF.（1）求证：BC平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为(90)，试求cos的取值范围.5立体几何试卷答案（2）证明：连接AC，45222ABCABBC，，，由余弦定理得2AC，ACAB6分取BC中点G，连接,SGAG，则AGBC.,,,SBSCSGBCSGAGGBC面,.SAGBCSA…………………8分（Ⅲ）如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系xyzO,BySCAD62、试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且M为PD的中点，又平面ACM，平面ACM,所以PB//平面ACM。（2）证明：因为，AD=AC，所以，所以,又PO平面ABCD，所以所以AD平面PAC。（3）取OD的中点为N，因为所以MN平面ABCD，所以为直线AM与平面ABCD所成角。因为AD=AC=1，，所以所以又所以73.（1）证明见解析；（2）33．．试题解析：（1）证明：过P作PO平面ABCD于O，连OA．依题意PAPBPD，则OAOBOD．又△ABD为Rt，故O为BD的中点．∵PO面PBD，∴面PBD面ABCD．在梯形ABCD中，222CDDBCB，4.【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=，又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，∴DC=AC=（AB）=2AB．连接BD，交AC于点M，则==2．连接EM，在△BPD中，==2，∴PD∥EM，又PD⊂/平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC．…8（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥，∵=（3，3，0），=（0，2，1），∴解得x=，y=﹣，∴=（，﹣，1）．设=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则⊥，⊥，又=（3，0，0），=（0，﹣3，3），∴，解得x′=0，y′=1，∴=（0，1，1）．（取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量．）∵cos＜，＞=|=，∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..…注：以其他方式建系的参照给分．5.（1）详见解析；（2）23.试题分析：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，证明MN平面ABCD，从而MN即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN平面ABCD，∵M为PD中点，N为BD中点，∴MN为PDB的中位线，∴//MNPB，9又∵平面ABCD平面ABPE，平面ABCD平面ABPEAB，BC平面ABCD，BCAB，6【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…因AA1=AB，则AD⊥A1B由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B。得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角10∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．设正方形ABCD的边长为a，则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．8.【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：11B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），F（0，0，），E（﹣，﹣，），向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量，设面BCFE的法向量为：，，得到，令时，=（﹣1，，1），面AOF的一个法向量，设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ，则cosθ===，∴sinθ=．故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为．…99如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（Ⅰ）因为=0所以PB⊥DM．（Ⅱ）因为=0所以PB⊥AD．又PB⊥DM．因此的余角即是BD与平面ADMN．12所成的角．因为所以=因此BD与平面ADMN所成的角为．10.试题解析：（1）证明：在梯形ABCD中，∵//ABCD，1ADDCCB，60ABC，∴2AB，∴2222cos603ACABBCABBC，∴222ABACBC，∴BCAC，∴平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，∴BC平面ACFE.（2）由（1）分别以直线,,CACBCF为x轴，y轴，z轴发建立如图所示空间直角坐标系，令(03)FM，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,0,1)CABM，∴(3,1,0),(,1,1)ABBM.设1(,,)nxyz为平面MAB的一个法向量，由1100nABnBM，得300xyxyz，取1x，则1(1,3,3)n，∵2(1,0,0)n是平面FCB的一个法向量，∴122212||11cos||||13(3)1(3)4nnnn.∵03，∴当0时，cos有最小值77，当3时，cos有最大值12，∴71cos[,]72.