ARCH类模型

ARCH类模型及应用赵洁2009211205•模型提出背景•ARCH类模型介绍（ARCH、GARCH、ARCH-M、TARCH、EGARCH）•ARCH类模型分析检验的一般步骤•案例•总结模型提出背景模型提出背景•ARCH模型按照英文直译是自回归条件异方差模型,由美国经济学家罗伯特·恩格尔(Engle)在1982年首次提出。此后在计量经济领域中得到迅速发展。尤其在金融时间序列分析中。•按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有的，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？模型提出背景•传统（经典）的经济计量模型往往假设方差是不变的，即在不同的时期方差保持一个常数。•随着金融理论的发展及实证工作的深入，人们发现这一假设不尽合理。•从事股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测时，这些变量的预测精度随时期的不同而有很大差异。•差异特征很可能由于金融市场的波动易受消息、政局变动、政府货币与财政政策变化等因素的影响。•一种特殊的异方差形式——误差项的方查主要依赖于以前期间误差的变化程度，即存在某种自相关性。模型提出背景•ARCH模型作为一种全新的理论，在近十几年里得到了极为迅速的发展，已被广泛地用于验证金融理论中的规律描述以及金融市场的预测和决策。•ARCH模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。ARCH模型是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。ARCH类模型介绍ARCH模型●对于某一时间序列，其变化规律可由如下回归模型描述：在t时刻可获得的信息集为的条件下，误差项服从以0为期望值、以为条件方差的正态分布，即：其中，，，即条件方差具有阶自回归形式，则称误差项ARCH(q)过程。tyttXy1tt2t0)(tE21)(tttVar2222211021)(qtqtttttVarqt0,21q121q（1.1）（1.2）若模型（1.1）称作均值方程，模型（1.2）称作方差方程。ARCH模型•上述定义所谓的条件方差，可简单的理解为在已知信息集为的条件下，时刻干扰项的方差。对于模型（1.2）表示的条件方差，前期的误差项对本期的的误差项有着正向且持续的影响。•如果扰动项方差没有自相关，就会有H0：这时。从而得到误差方差同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：其中，表示从原始回归模型（1.1）估计得到的OLS残差。1tttt02)var(tt021q222221102ˆˆˆˆˆˆˆˆqtpttttˆGARCH模型●若在干扰项本期条件方差的决定模型中引入条件方差本身的滞后值，如，便得到最简单的GARCH（1,1）模型，即：该模型改进方法最早由经济学家Bollerslve于1986年提出。●模型（1.3）中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1．常数项：2．用均值方程的残差平方的一阶滞后量来度量从前期得到的波动性的信息：（ARCH项）。3．上一期的预测方差：（GARCH项）。t2t21t211211021)(tttttVar021t21t（1.3）GARCH模型●进一步扩展，GARCH(p,q)模型是指：即模型中有条件方差的p阶滞后和误差平方项的q阶滞后。相对于ARCH模型，GARCH模型的优点在于：可以用低阶的GARCH模型来代表高阶的ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。2121021)(ktpkkitqiitttVar在用GARCH(p,q)模型对金融时间序列进行估计时，模型（1.4）中的系数和都要服从一定的条件。ik（1.4）GARCH模型●可以证明：若干扰项服从GARCH(p,q)模型，其方差为：如果成立，干扰项为平稳过程。换句话说，可以说明外部冲击对干扰项的波动将随着时间的推移逐渐衰减。的值的大小反映出外部冲击对干扰项波动产生影响的持久性。tARCH-M模型•除了刻画干扰项的方差过程之外，还可以将干扰项的条件方差作为影响序列本身的解释变量之一，引入序列的均值方程，即:也可以将条件方差换成条件标准差：或取对数：根据取ARCH或GARCH形式而将模型称之为ARCH-M或GARCH-M模型。这一扩展在描述资产预期收益与预期风险紧密相连的金融领域有十分重要的意义。tttXy2tttXytttXy)ln(2(1.5)ttyty2tARCH-M模型•若用表示某金融资产的收益率水平，方差作为风险指标，表示收益率水平的波动程度，那么模型（1.5）意味着除了包含传统的解释金融资产收益率的各因素之外，还将风险因素作为解释变量，直接引入收益率的决定过程中。根据资产定价理论，股票风险是决定股票价格的重要因素，一个证券投资者在做出某一投资决策时，不但要考虑证券的收益率，还要考虑收益率的波动，或者说风险的大小。方差的增加将导致预期收益率的增加，因此，模型（1.5）所示的ARCH-M模型或GARCH-M模型恰好反映了“应将风险因素引入金融资产定价过程”的思想，因而模型一经提出即获得了广泛的应用。ty2t2t对于股票而言，常常可以观测到的一个现象是，如果它在市场上向上或向下变化相同的幅度，那么它向下滑动过程中的波动性要高于向上运动过程中的波动性，称此为杠杆效应。为了解释这一现象，Engle（1993）描述了如下形式的对好消息和坏消息的非对称信息曲线：波动性信息0TARCH和EGARCH模型都可以用来描述非对称性。TARCH模型TARCH模型•TARCH，即门限（Threshold）自回归条件异方差模型。由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。一阶TARCH的模型为：其中，当时，；否则，。•在这个模型中，好消息和坏消息对条件方差有不同的影响：好消息有一个的冲击；坏消息有一个对的冲击。如果，则冲击是非对称的，如果，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果，则非对称效应的作用是使得波动减小。如果，条件方差对冲击的反映是对称的。21112121102tttttd0t1td0td0t1)0(t10000TARCH模型•用该模型进行预测时，假定残差的分布基本上是对称的，这样可以认为在一半时间内为1，但不知道具体何时为1。这样在预测中，可以设定。•更一般的TARCH模型形式如下：d5.0d211212102ktpkkttitqiitdEGARCH模型•EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为：等式左边是条件方差的对数，所以条件方差的预测值一定是非负的。如果，则冲击的影响存在着非对称性。如果，正负冲击对条件方差的影响是对称的。1111212loglogtttttt011tt指利好或利坏冲击0EGARCH模型•Eviews指定的EGARCH模型和Nelson给出的模型之间有两点区别。首先，Nelson假定服从广义误差分布，而EViews假设扰动项服从正态分布；其次，Nelson指定的条件方差的对数与上述的不同：Nelson(1991)在最初给出的EGARCH(1,1)模型是如下形式：11112122loglogttttttt在正态误差的假设下估计这个模型将产生与EViews得出的那些结论恒等的估计结果，除了截矩项，它只差了。2•EViews指定了更高阶的EGARCH模型:估计EGARCH模型只要选择ARCH指定设置下的EGARCH项即可。212loglogjtpjjtqiititiititiuu12ARCH类模型分析检验的一般步骤ARCH类模型分析检验的一般步骤ARCH族模型分析一般包括如下五个主要步骤：第一步，考察时间序列的统计特征。检验序列值的均值、方差、峰度、偏度及Jarque-Bera等指标，从而分析其正态性。如果序列显示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈偏态、峰度系数大于3）、Jarque-Bera统计量显示其具有非正态性，则可初步表明，序列可能存在ARCH现象。tyARCH族模型分析检验的一般步骤第二步，序列平稳性检验之所以要考虑时间序列数据平稳性，有两个重要原因：1、只有时间序列是平稳的，即其随机特征不随时间变化，那么我们才可以利用经典线形回归方法来对其进行接下来的研究。2、只有序列平稳我们才能把根据过去数据推测出的关于序列的统计特征应用于对未来时期变化的预测。我们将要利用估计出来的序列的模型来预测该序列未来的变化，所以必须假定该序列所反映的随机变量的特征在不同时期里，包括在过去和将来的时期里是保持不变的。在此部分采用ADF来对平稳性进行检验。如果ADF统计量小于相应的临界值，则序列是平稳的。如果ADF统计量大于相应的临界值，则表明序列非平稳。ARCH族模型分析检验的一般步骤第三步，确定均值方程，正式检验残差序列是否确实存在自回归条件异方差。确定均值方差，即方程中的形式。在对序列进行ADF检验，验证其为平稳序列后，用其前期值的自回归模型表示均值方程，即：其滞后阶数p可用自相关函数、偏自相关函数、Ljung-BoxQ统计量来确定，各参数可以用最小二乘法（OLS）求得。当然也可以包含其它变量来解释的变化规律，如按ARCH-M模型中将干扰项的方差或标准差引入回归方程。ttXyX21,ttyytitpiityy10itytyARCH族模型分析检验的一般步骤在利用OLS估计方法得到均值方程后，观察其残差序列及残差平方序列。若残差平方序列呈现出自相关性（表现为自相关系数显著不为0）或者在残差平方的时间序列图上观察到积聚现象，这都意味着存在自回归条件异方差。除此方法之外，可以通过较为正式的ARCH-LM检验考察是否存在ARCH现象。该方法是对残差平方按如下方程进行回归：进而得到回归可决系数R2。可以证明TR2服从，其中T为观察值的个数。故若TR2大于一定显著性水平下的临界值，则拒绝零假设H0：，说明存在ARCH现象。tˆ2ˆtt2ˆttqtptttu222221102ˆˆˆˆˆ)(2q021p)(2qARCH族模型分析检验的一般步骤第四步，应用ARCH模型族里的适当模型进行分析。若存在自回归条件异方差象，则可以在所得到均值方程的基础上，选择适当的ARCH或GARCH类模型，对序列值的变化规律进行分析，同时也可以对原均值方程进行是适当修订。第五步，走势的预测。如果认为模型设定的比较充分，就可用来预测。案例案例以1995年1月到2000年8月日元兑美元汇率值序列（JPY）为例介绍怎样用Eviews进行ARCH建模分析（序列共1427个值）。第一步，考察时间序列的统计特征在序列窗口的工具栏中选择View/DescriptiveStatistics/Hist-ogramandStats将生成如下所示的结果。案例第二步，序列平稳性检验JPY时间序列DJPY时间序列不平稳平稳案例第三步，确定均值方程，检验残差序列是否存在ARCH现象DJPY的相关图和偏相关图通过相关图和偏相关图的分析，知应该用DJYP序列建立一个AR(3)或MA(