极化恒等式在向量问题中的应用

极化恒等式在向量问题中的应用目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义阅读以下材料：.两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,bADaAB证明：不妨设，，则baDBbaAC222222CCbbaabaAA（1）222222bbaabaDBDB（2）（1）（2）两式相加得：22222222CADABbaDBA结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ba＝2241baba————极化恒等式几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41.即：2241DBACba（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为AMAC2，所以2241DBAMba（三角形模式）目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值例1.(2012年浙江文15)在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC____.解：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：2241BCAMACAB=9-10041=-16【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。目标检测.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DADEABEABCD目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围.________OO2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PBPAPABC解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且22ODOC，所以3CD，32AB又由极化恒等式得：341222PDABPDPBPA因为P在圆O上，所以当P在点C处时，3||maxPD当P在CO的延长线与圆O的交点处时，1||minPD所以]6,2[PBPA【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。M图1ABCM目标检测1、矩形ABCD中，3,4ABBC，点,MN分别为边,BCCD上的动点，且2MN，则AMAN的最小值是()A．13B．15C．17D．192、已知,,ABC是圆221xy上互不相同的三个点，且ABAC，则ABAC的最小值是3、已知ABC,7,8,9ABACBC,P为平面ABC内一点，满足7PAPC，则||PB的取值范围是.目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题例3.（2013浙江理7）在ABC中,0P是边AB上一定点，满足014PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC。则()A.90ABCB.90BACC.ABACD.ACBC目标检测`1、22.2.2.1.)(,0)()(2,)92008(DCBAccbcacba　　　　　　　　的最大值是则满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理2、[2016年江苏]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BACA，1BFCF，则BECE的值是.3、[2014年江苏]如图在平行四边形ABCD中，已知8,5ABAD，3,2CPPDAPBP，则ABAD的值是.课后检测1.在ABC中,60BAC若2AB,3BC,D在线段AC上运动，DADB的最小值为2.已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于,AB的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则PAPBPC的最小值为（）A.14B.13C.12D.13．在ABC中，3AB，4AC，60BAC，若P是ABC所在平面内一点，且2AP，则PBPC的最大值为4．在RtABC，2ACBC，已知点P是ABC内一点，则)(PBPAPC的最小值是.5.已知BA、是单位圆上的两点，O为圆心，且MNAOBo,120是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足)10()1(OBOAOC，则CNCM的取值范围是（）A．1,21B．1,1C．0,43D．0,16.正ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则PBAP的取值范围是（）A.23,23B.21,23C.23,21D.21,217．在锐角ABC中，已知3B，2ABAC，则ABAC的取值范围是．8、正方体1111-ABCDABCD的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，PMPN的最大值为