排列组合基础知识

排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有1n中不同的方法，第二类方法中有2n种不同的方法......第n类方法中nn种不同的方法，那么完成这件事共有nnnnN...21种不同的方法。（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3）特点：分成几类，就有几项相加。例1.从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有3+2种方法。2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有1m中不同的方法，做第二个步骤有2m种不同的方法......做第n个步骤有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN...21种不同的方法。（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（3）特点：分成几步，就有几项相乘。例2.从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车1—汽车1，火车2—汽车1火车1—汽车2，火车2—汽车2火车1—汽车3，火车2—汽车3所以共有842种方式。二、排列组合1.排列（1）排列的定义：从n个不同的元素中，任取m个（nm）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。（2）使用排列的三条件①n个不同元素；②任取m个；③讲究顺序。2.组合（1）组合的定义：从n个不同的元素中，任取m个（nm）元素并为一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。（2）使用三条件①n个不同元素；②任取m个；③并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素”；排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义：从n个不同的元素中，任取m个（nm）元素所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，记为mnA。例1.从甲、乙、丙三个中任取2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有6种方式。需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为23A，即23623A，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项3，而且之后的每项总是比前一项少1。例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为：ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc.共有12种，即341224A，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1。例3.从a,b,c,d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为：abc,acb,bac,bca,cab,cba,abd,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca.bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种，即2342434A，其中上标3是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式)!(!)1)....(2)(1(mnnmnnnnAmn，其中上标m表示相乘的项数，其中12)1(!nnn。尤其：!,,110nAnAAnnnn。5组合数的定义：从n个不同的元素中，任取m个（nm）元素所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，记为mnC。例4.从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3种需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素并成一组，所有共有的组合数为23C，即323C。这个结果与例1比较发现22232312233AAC。例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个并成一组，共有多少种可能？解所以的可能排列为：ab,ac,ad,bc,bd,cd.共有6种，即624C。这个结果与例2比较发现22242412346AAC。例6.从a,b,c,d四个元素中任取3个并成一组，共有多少种可能？解所以的可能排列为：abc,abd,acd,bcd。共有4种，即434C。这个结果与例3比较发现3334341232344AAC。由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式12)...1()1)...(1(mmmnnnAACmmmnmn尤其：mnnmnnnnnCCCnCC,1,,110我们这本书用nm表示mnC。下面3题要求学解题过程1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的上方；（2）列出所有冠军的可能情况。2.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.2883.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。A.60B.100C.120D140