实验四--连续时间傅里叶变换及系统的频域分析

实验报告姓名：周儒军学号：1404414125日期：2016/5/8实验四连续时间傅里叶变换及系统的频域分析一、实验目的1、学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换、常见信号的傅里叶变换及性质。2、学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性3、学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应二、实验原理1．傅里叶变换的MATLAB求解MATLAB的symbolicMathToolbox提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。Fourier变换的调用格式F=fourier(f)：它是符号函数f的fourier变换默认返回是关于w的函数。F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的w，即()()jvxFvfxedxFourier逆变换的调用格式f=ifourier(F):它是符号函数F的fourier逆变换，默认的独立变量为w，默认返回是关于x的函数。f=ifourier(f,u):它的返回函数f是u的函数，而不是默认的x.注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量（如t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。例4-1求2()tfte的傅立叶变换解:可用MATLAB解决上述问题：symstFw=fourier(sym(‘exp(-2*abs(t))’))例4-2求21()1Fjw的逆变换f(t)解：可用MATLAB解决上述问题symstwft=ifourier(1/(1+w^2),t)2．连续时间信号的频谱图例4-3求调制信号ttAGtf0cos)()(的频谱，式中)2()2()(,21,12,40tututGA解：MATLAB程序如下所示ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))');Fw=simplify(fourier(ft))subplot(121)ezplot(ft,[-0.50.5]),gridonsubplot(122)ezplot(abs(Fw),[-24*pi24*pi]),grid用MATLAB符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是nnjtjenfdtetfjF)(lim)()(0当足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n的取值就是有限的，设为N，有kNNkenfkFkNnnjk2,0,)()(10是频率取样点时间信号取样间隔应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率W0为信号的带宽。例4-4用数值计算法求信号)1()1()(tututf的傅里叶变换解，信号频谱是)(2)(SajF，第一个过零点是，一般将此频率视为信号的带宽，若将精度提高到该值的50倍，既W0=50，据此确定取样间隔，02.0021FR=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);W1=2*pi*50;N=500;k=0:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t'*W)*R;F=real(F);W=[-fliplr(W),W(2:501)];F=[fliplr(F),F(2:501)];subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');subplot(2,1,2);plot(W,F);xlabel('w');ylabel('F(w)');title('f(t)的付氏变换F(w)');3．用MATLAB分析LTI系统的频率特性当系统的频率响应H（jw）是jw的有理多项式时，有11101110()()()()()()()()()MMMMNNNNbjwbjwbjwbBwHjwAwajwajwajwaLLMATLAB信号处理工具箱提供的freqs函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下H=freqs(b,a,w)其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。例如，运行如下命令，计算0~2pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值a=[121];b=[01];h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)例4-5三阶归一化的butterworth低通滤波器的频率响应为321()()2()2()1Hjwjwjwjw试画出该系统的幅度响应()Hjw和相位响应()。解其MATLAB程序及响应的波形如下w=0:0.025:5;b=[1];a=[1,2,2,1];%阶数有高到低H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('H(jw)的幅频特性');subplot(2,1,2);plot(w,angle(H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('\phi(\omega)');title('H(jw)的相频特性');4．用MATLAB分析LTI系统的输出响应例4-6已知一RC电路如图所示系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t,t试求该系统的响应y(t)解由图可知，该电路为一个微分电路，其频率响应为-+-+f(t)y(tRC()11RjwHjwRjwCjwRC由此可求出余弦信号0cost通过LTI系统的响应为000()()cos(())ytHjwt计算该系统响应的MATLAB程序及响应波形如下RC=0.04;t=linspace(-2,2,1024);w1=5;w2=100;H1=j*w1/(j*w1+1/RC);H2=j*w2/(j*w2+1/RC);f=cos(5*t)+cos(100*t);y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2));subplot(2,1,1);plot(t,f);ylabel('f(t)');xlabel('Time(s)');subplot(2,1,2);plot(t,y);ylabel('y(t)');xlabel('Time(s)');三、上机实验内容1.验证实验原理中所述的相关程序；2.分别用MALTAB计算单位阶跃信号、矩形宽度为2的脉冲信号、cos(2pi*t)的傅里叶变换，并画出其幅度谱和相位谱。3.设21()0.08()0.41Hjwjwjw，试用MATLAB画出该系统的幅频特性()Hjw和相频特性()，并分析系统具有什么滤波特性。（1）单位阶跃信号的傅立叶变换clcclearallcloseallfs=100;N=1024;n=0:N-1;t=-10:0.01:10;x=heaviside(t);y=fftshift(fft(x,N));f=n*fs/N-fs/2;subplot311;plot(t,x);axis([-101002]);xlabel('时间/s');ylabel('振幅');subplot312;plot(f,abs(y));xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');axis([-4040030]);subplot313;plot(f,angle(y));xlabel('频率/Hz');ylabel('相位');（2）矩形宽度为2的脉冲信号的傅里叶变换clcclearallcloseallfs=100;N=2048;n=0:N-1;t=-10:0.01:10;x=heaviside(t+1)-heaviside(t-1);y=fftshift(fft(x,N));f=n*fs/N-fs/2;subplot311;plot(t,x);axis([-101002]);xlabel('时间/s');ylabel('振幅');subplot312;plot(f,abs(y));xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');axis([-10100200]);subplot313;plot(f,angle(y));xlabel('频率/Hz');ylabel('相位');axis([-55-55]);（3）cos(2pi*t)的傅里叶变换clcclearallcloseallfs=10;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;x=cos(2*pi*t);y=fftshift(fft(x,N));f=n*fs/N-fs/2;subplot311;plot(t,x);axis([02-11]);xlabel('时间/s');ylabel('振幅');subplot312;plot(f,abs(y));xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');subplot313;plot(f,angle(y));xlabel('频率/Hz');ylabel('相位');3.设21()0.08()0.41Hjwjwjw，试用MATLAB画出该系统的幅频特性()Hjw和相频特性()，并分析系统具有什么滤波特性。clcclearallcloseallw=0:0.025:5;b=[1];a=[0.08,0.4,1];H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('H(jw)的幅频特性');subplot(2,1,2);plot(w,angle(H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('\phi(\omega)');title('H(jw)的相频特性');该系统为带宽为5Hz的低通滤波器。实验总结通过此次实验我已经能充分理解并掌握了连续时间的傅立叶变换，对于一般的傅里叶计算可以使用fourier(x)来进行计算以及一些满足狄里克莱条件的函数的成图。在实验中，对于矩形脉冲函数是可以使用fourier函数成图，但是对于cosx和单位阶跃函数是无法成图的，因为由于fourier得到为有关狄拉克函数的函数，而用ezplot进行画图时，其x在[-2*pi,2*pi]区间划分的数据没有等于1或-1得，所以得到的y数据带入求得的函数中其值全为0,故而为一值为0的直线，从而具有局限性。但是对于fft(x，N)函数来说就不存在这样的问题，对于其中的采样频率只要满足奈奎斯特抽样定理就可以了，如果所成的图像还是出现失真的情况，多半是采样数N太少。置于fft函数所成的图像不能关于y轴对称是因为fft只存在正频率，如果想要获得关于y轴对称的函数就要再进行fftshift变换。通过大量的百度和自学已经让我对信号的频域转化有了更加深入的理解和认识。