2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁UA＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁UA＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{an}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{an}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cosB．（1）若cosC＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sinA．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cosB，可知sinB+cosB＝2cosB，即sinB＝cosB，因为cosB≠0，所以tanB＝，又B∈（0，π），故B＝，由cosC＝，C∈（0，π），可知sinC＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sinA＝sin[﹣（）]＝sincos（）﹣cossin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{an}满足{an+1﹣an}是公比为q的等比数列，则称数列{an}为“M（q）数列”．设数列{bn}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{bn}是“M（q）数列”，求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn+1＝2Sn﹣n+λ，请判断数列{bn}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{bn}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{bn}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即bn+1﹣bn＝bn﹣bn﹣1，n≥2，所以数列{bn}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{bn}通项公式为bn＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{bn+1﹣bn}是公比为3的等比数列，故数列{bn}是“M（q）数列“．（3）由数列{bn}是“M（2）”数列，∴bn+1﹣bn＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴bn+1﹣bn＝2n，∴当n≥2时，bn＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝ex﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴ex﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣aex+mx＝0，化简可得（1﹣a）（ex+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝ex﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣mex+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令ex＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单