高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题

173习题七1.在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2.xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3.x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4.求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）22223429s=++=(2)2222(3)(4)29s=+−+−=(3)222(12)(03)(34)67s=++−++=(4)222(24)(12)(33)35s=−−+++−=.5.求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故22204(3)552s=+−+=222(44)(30)(50)34xs=−+−−+−=2224(33)541ys=+−++=2224(3)(55)5zs=+−+−=.6.在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)zz−++−=++−−解得149z=174即所求点为M（0，0，149）.7.试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8.验证：()()++=++abcabc.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19.设2,3.=−+=−+−uabcvabc试用a,b,c表示23.−uv解：232(2)3(3)2243935117−=−+−−+−=−++−+=−+uvabcabcabcabcabc10.把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以AB=c，BC=a表示向量1DA,2DA,3DA和4DA.解：1115DABABD=−=−−ca2225DABABD=−=−−ca3335DABABD=−=−−ca444.5DABABD=−=−−ca11.设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为M′，则1Prjcos6042.2uOMOM=°=×=12.一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x,y,z)，则{4,4,7}{2,1,7}ABxyz=−=−−−−175解得x=-2,y=3,z=0故A的坐标为A(-2,3,0).13.一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1）12PP在各坐标轴上的投影；（2）12PP的模；（3）12PP的方向余弦；（4）12PP方向的单位向量.解：（1）12Prj3,xxaPP==12Prj1,yyaPP==12Prj2.zzaPP==−(2)22212(74)(10)(35)14PP=−+−+−=(3)123cos14xaPPα==121cos14yaPPβ==122cos14zaPPγ−==.(4)12012312312{,,}141414141414PPPP−===+−eijk.14.三个力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）222||21421=++=R214cos,cos,cos.212121αβγ===15.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量,,abceee来表达向量a,b,c.解：222||1113=++=a222||2(3)538=+−+=b222||(2)(1)23=−+−+=c1763,38,3.abc===aebece16.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.17.解：设{,,}xyzaaaa=则有cos(1,1)3xaiaaiaiπ⋅====⋅求得12xa=.设a在xoy面上的投影向量为b则有{,,0}xybaa=则22222cos42abaxayabaxayπ⋅+=⇒=⋅+则214ya=求得12ya=±又1,a=则2221xyzaaa++=从而求得112{,,}222a=±或112{,,}222−±18.已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且123MMMM=，求向径OM的坐标.解：设向径OM={x,y,z}12{2,5,3}{3,2,5}MMxyzMMxyz=−−+=−−−−因为，123MMMM=所以，11423(3)153(2)433(5)3xxxyyyzzz⎧=⎪−=−⎧⎪⎪⎪−=−−⇒=−⎨⎨⎪⎪+=−⎩=⎪⎪⎩177故OM={111,,344−}.19.已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，OP的方向余弦是236,,777，求点P的坐标.解：设P的坐标为（x,y,z）,2222||(12)49PAxyz=++−=得2229524xyzz++=−[phone]cos6,749zzzxyzγ==⇒==++又122222190cos2,749xxxxyzα==⇒==++122223285cos3,749yyyxyzβ==⇒==++故点P的坐标为P（2，3，6）或P（190285570,,494949）.20.已知a,b的夹角2π3ϕ=，且3,4==ba，计算：(1)a·b;(2)(3a-2b)·(a+2b).解：（1）a·b=2π1cos||||cos3434632ϕ⋅⋅=××=−××=−ab(2)(32)(2)3624−⋅+=⋅+⋅−⋅−⋅ababaaabbabb2223||44||334(6)41661.=+⋅−=×+×−−×=−aabb21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算：（1）a·b;(2)(2a-3b)·(a+b)；（3）2||−ab解：（1）46(2)(3)4238⋅=×+−×−+×=ab(2)(23)()2233−⋅+=⋅+⋅−⋅−⋅ababaaababbb222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=−⋅−=×+−+−−+−+=×−−×=−aabb(3)222||()()2||2||−=−⋅−=⋅−⋅+⋅=−⋅+abababaaabbbaabb36238499=−×+=17822.已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量AB在向量CD上的投影.解：AB={3，-2，-6}，CD={6，2，3}PrjCDABCDABCD⋅=22236(2)2(6)34.7623×+−×+−×==−++23.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解:(a+3b)·(7a-5b)=227||1615||0+⋅−=aabb①(a-4b)·(7a-2b)=227||308||0−⋅+=aabb②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=ababababab又21||02⋅=abb，所以1cos||||2θ⋅==abab,故1πarccos23θ==.24.设a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a－b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又(a+b)·(a-b)=2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)⊥(a-b).25.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：(1)a×b;(2)2a×7b;(3)7b×2a;(4)a×a.解：（1）211332375122111−−×=++=−−−−abijkijk(2)2714()429870×=×=−−ababijk(3)7214()14()429870×=×=−×=−++babaabijk(4)0×=aa.26.已知向量a和b互相垂直，且||3,||4==ab.计算：(1)|(a＋b)×(a－b)|；(2)|(3a＋b)×(a－2b)|.（1）|()()|||2()|+×−=×−×+×−×=−×ababaaabbabbab179π2||||sin242=⋅⋅=ab(2)|(3)(2)||362||7()|+×−=×−×+×−×=×ababaaabbabbbaπ734sin842=×××=27.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.解：411334555111221−−−−×=++=−−+−−abijkijk与×ab平行的单位向量3()||3×==±−−+×abeijkab||53513sin||||26266θ×===×⋅abab.28.一平行四边形以向量a=(2,1,－1)和b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13=+=−labij，232=−=+−labijk因为12|||2610|140×=++=llijk,12||10,||14==ll所以1212||140sin1||||1014θ×===⋅llll.即为所求对角线间夹角的正弦.29.已知三点A(2,-1,5),B(0,3,-2),C(-2,3,1)，点M，N，P分别是AB，BC，CA的中点，证明：1()4MNMPACBC×=×.证明：中点M，N，P的坐标分别为31(1,1,),(1,3,),(0,1,3)22MNP−−{2,2,2}MN=−−3{1,0,}2MP=−{4,4,4}AC=−−{2,0,3}BC=−18022222235233100122MNMP−−−−×=++=++−−ijkijk44444412208033220ACBC−−−×=++=++−−ijkijk故1()4MNMPACBC×=×.30.（1）解:xyzxyzijkabaaabbb×==-+-+-yzzyzxxzxyyxababiababjababk（）（）（）则C=-C+-+-yzzyxzxxzyxyyxyabababababCababC×⋅（）（）（）（）xyzxyzxyzaaabbbCCC=若,,Cab共面，则有ab×后与C是垂直的.从而C0ab×⋅=（）反之亦成立.（2）CxyzxyzxyzaaaabbbbCCC×⋅=∵（）axyzxyzxyzbbbbCCCCaaa×⋅=（）bxyzxyzxyzCCCCaaaabbb×⋅=（）由行列式性质可得:xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzaaabbbCCCbbbCCCaaaCCCaaabbb==故CaabbCCa×⋅=×⋅=×⋅∵（）（）（）18131.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A,B,C,D.{0,1,2},{2,2,1}ABAD==−则由A，B，D三点所确定三角形的面积为11135|||542|2