高等数学大一第二学期总复习题

总复习不定积分定积分微分方程1、原函数定义原函数存在定理如果函数)(xf在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.即：连续函数一定有原函数．如果在区间I内，可导函数)(xF的导函数为)(xf，即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf或dxxf)(在区间I内原函数.不定积分2、不定积分(1)定义CxFdxxf)()(在区间I内，函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(．dxxgxf)]()([10dxxgdxxf)()((2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.dxxkf)(20dxxfk)(（k是常数，)0k(3)不定积分的性质)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(3、基本积分表kCkxkdx()1(是常数))1(1)2(1CxdxxCxxdxln)3(dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(Cxsinxdxsin)7(Cxcosxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexxdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcotdxax)13(CaaxlnCxxdxcoslntan)14(Cxxdxsinlncot)15(Cxxxdx|tansec|lnsec)16(Cxxxdx|cotcsc|lncsc)17(Cxaxaadxxa||ln211)21(22Caxdxxaarcsin1)19(22Caxxdxax||ln1)22(2222Caxaxadxax||ln211)20(22Caxadxxaarctan11)18(222、第一类换元积分法1、直接积分法定理1设)(uf具有原函数，)(xu可导，则有换元公式dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.不定积分的计算;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;1)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf;cos11tan2dxxx如：3、第二类换元积分法定理设)(tx是单调的、可导的函数，并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，则有换元公式)()()]([)(xtdtttfdxxf其中)(x是)(tx的反函数.第二类换元公式（主要应用于无理函数的不定积分）dxbaxxdxbax;如：baxt令：注1当被积函数中含有,)1(22xa令taxsin,)2(22xa令taxtan,)3(22ax令taxsec三角代换的一般规律:倒代换.1tx注2分母的阶较高时,可采用2,2t2,2t,0tdxxx21如：uvvuvudd1.原则:2.经验:3.题目类型:化简型;循环型;递推型.v要易求;uvdvud比易求.“指三幂对反三”的顺序,前为,u,dv后为4、分部积分法,d)(,dcos)(,dsin)(xexPxaxxPxaxxPkxnnnuuu次多项式为nxPn)(,darctan)(,darcsin)(xxxPxxxPnnxxxPndln)(uuuxbaxexbaxekxkxd)cos(,d)sin(的选取可随意vud,注意前后几次所选的应为同类型函数.udxexx2如：例：一条曲线过点(1,4)，且在每一点处的切线斜率为，求该曲线方程。2x(A)有极限存在；（B）连续；(C)有界；（D）有有限个间断点就可保证它的在某区间内具备了)()(.2xf.原函数一定存在选择题1.下列等式中正确的是);(]d)([d.xfxxfA;d)(]d)([dd.xxfxxfxB);()(d.xfxfC.)()(d.CxfxfDD特殊形式的定积分计算1.对称区间上的积分考察被积函数是否为奇偶函数,用奇偶函数的“特性”处理.2.分段函数的积分认清积分限是被积函数定义域的哪个区间的端点,然后按段积分求和.3.被积函数带有绝对值符号的积分在作积分运算之前设法去掉绝对值.(注意符号!)定积分dxxx1122sindxxex11||baIdxxf)(iinixf)(lim10.记},,,max{21nxxx，1、定积分的定义定积分是一个数0)(badxxfdxd例解为其中设204)(,d)(2cos)(xfxxfxxf).(,xf试求连续函数20,d)(Axxf令Axxf2cos)(4xAxAd)2(cos204,22143A,)1(163A.)1(83cos)(4xxf则xd20xd)(20(2)(3)2.关于函数的可积性,],[)(上连续在设baxf上在则],[)(baxf可积.,],[)(上有界在设baxf且只有有限个间上在则],[)(baxf可积.断点,充分条件(1),],[)(上可积在若baxf上在则],[)(baxf有界.必要条件3、定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数)性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假设bca性质3则0)(dxxfba)(ba性质5如果在区间],[ba上0)(xf，推论：则dxxfba)(dxxgba)()(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)()(ba（2）dxba1dxbaab性质4如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf)(ba性质7(定积分中值定理)设M及m分别是函数则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba性质6上的最大值及最小值，积分中值公式4、牛顿—莱布尼茨公式如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa定理1定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.推论axttfxd)(dd)1()(d)(dd)2(xgattfx)(xf)]([xgf)(xg)()(d)(dd)3(xgxhttfx],,[)(baCxf设,)(可导函数xg].,[bax)]([xgf)(xg)]([xhf)('xhP235：3,4例21cos0dlim2xtextx解1cosddd2xttexxttexcos1ddd2xe2cosxex2cossin21cos0dlim2xtextxxexxx2sinlim2cos0e2100这是型不定式,分析应用洛必达法则)(cosx定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.)]([)(babaxFdxxf也可写成牛顿—莱布尼茨公式5、定积分的计算法dtttfdxxfba)()]([)(换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式bababavduuvudv][6、广义积分(1)无穷限的广义积分axxfd)(tatxxfd)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.bxxfd)(bttxxfd)(limdxx231(2)无界函数的广义积分badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.badxxf)(badxxf)(lim0badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0bcdxxf)(lim0xxd111Oxy,],[上设在区间ba,)(的上方xgy),()(xgxf求这两条曲线及直线bxax,所围成的区域的面积A.)(xgy)(xfyabAdxxgxfAd)]()([(1))()(xgxfxdab位于曲线曲线)(xfy即Axxxd7、定积分在几何中的应用的常用公式(1)平面图形的面积(2)由曲线))()((ygyf和直线dycy,所围成的区域的面积A.yygyfAd)()(dyygyfAd)]()([cd)(ygx)(yfxyyyd)(),(ygxyfxcdAOxyP265:1(单号)求曲线所围成图形的面积(2)体积xdxxxyodxxfVba2)]([dyyVdc2)]([xyo)(yxcddxexx112例：求定积分1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．微分方程通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．dxxfdyyg)()(形如(1)可分离变量的微分方程解法dxxfdyyg)()(分离变量法2、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy形如(2)齐次方程解法xyu作变量代换)()(xQyxPdxdy形如(3)一阶线性微分方程,0)(xQ当上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.,0)(xQ当齐次方程的通解为.)(dxxPCey（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([（常数变易法）线性无关定义)(),(21xyxy设0)()(2211xykxyk线性相关.否则称线性无关.如)),((2sin,cossinxxxx)),((xxeexx，线性相关该区间内恒等式如果存在两个不全为零的常数k1和k2,使得当x在则称这两个函数在区间I内为定义在区间I内的函数.即仅当k1=k2=0时上述等式成立.成立,实际上,上在与则函数Ixyxy)()(21线性无关.)1(0)()(yxQyxPy)()(21xyxy,常数若在I上有５、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn形如n阶常系数线性微分方程0qyypy二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根