高等数学期末考试题和答案

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.)(0),sin(cos)(　处有则在设xxxxxf.（A）(0)2f（B）(0)1f（C）(0)0f（D）()fx不可导.2.　）时（　，则当，设133)(11)(3xxxxxx.（A）()()xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）()()xx与是等价无穷小；（C）()x是比()x高阶的无穷小；（D）()x是比()x高阶的无穷小.3.若()()()02xFxtxftdt，其中()fx在区间上(1,1)二阶可导且()0fx，则（）.（A）函数()Fx必在0x处取得极大值；（B）函数()Fx必在0x处取得极小值；（C）函数()Fx在0x处没有极值，但点(0,(0))F为曲线()yFx的拐点；（D）函数()Fx在0x处没有极值，点(0,(0))F也不是曲线()yFx的拐点。4.)()(,)(2)()(10xfdttfxxfxf则是连续函数，且设（A）22x（B）222x（C）1x（D）2x.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.xxxsin20)31(lim.6.,)(cos的一个原函数是已知xfxxxxxxfdcos)(则.7.lim(coscoscos)22221nnnnnn.8.21212211arcsin－dxxxx.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数()yyx由方程sin()1xyexy确定，求()yx以及(0)y.10..d)1(177xxxx求11.．　求，，　　设132)(1020)(dxxfxxxxxexfx12.设函数)(xf连续，10()()gxfxtdt，且0()limxfxAx，A为常数.求()gx并讨论()gx在0x处的连续性.13.求微分方程2lnxyyxx满足1(1)9y的解.四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(xxyy，过点(,)01，且曲线上任一点Mxy(,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数)(xf在0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]01q，100()()qfxdxqfxdx.17.设函数)(xf在,0上连续，且0)(0xdxf，0cos)(0dxxxf.证明：在,0内至少存在两个不同的点21,，使.0)()(21ff（提示：设xdxxfxF0)()(）答案一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e.6.cxx2)cos(21　.7.2.8.3.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0xyeyxyxyycos()()cos()xyxyeyxyyxexxy0,0xy，(0)1y10.解：767uxxdxdu　　1(1)112()7(1)71ududuuuuu原式1(ln||2ln|1|)7uuc7712ln||ln|1|77xxC11.解：1012330()2xfxdxxedxxxdx01230()1(1)xxdexdx00232cos(1sin)xxxeedx　令3214e12.解：由(0)0f，知(0)0g。100()()()xxtufudugxfxtdtx(0)x02()()()(0)xxfxfudugxxx0200()()A(0)limlim22xxxfudufxgxx0200()()lim()lim22xxxxfxfuduAAgxAx，()gx在0x处连续。13.解：2lndyyxdxx22(ln)dxdxxxyeexdxC211ln39xxxCx1(1),09yC，11ln39yxxx四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且02dxyyxy，将此方程关于x求导得yyy2特征方程：022rr解出特征根：.2,121rr其通解为xxeCeCy221代入初始条件yy()()001，得31,3221CC故所求曲线方程为：xxeey23132五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为)ln,(00xx，切线方程：)(1ln000xxxxy由于切线过原点，解出ex0，从而切线方程为：xey1则平面图形面积10121)(edyeyeAy（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则2131eV曲线xyln与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V21022)(dyeeVyD绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221eeVVV六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：100()()qfxdxqfxdx100()(()())qqqfxdxqfxdxfxdx10(1)()()qqqfxdxqfxdx1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0qqffqqfqqf故有：100()()qfxdxqfxdx证毕。17.证：构造辅助函数：xdttfxFx0,)()(0。其满足在],0[上连续，在),0(上可导。)()(xfxF，且0)()0(FF由题设，有0000)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf，有00sin)(xdxxF，由积分中值定理，存在),0(，使0sin)(F即0)(F综上可知),0(,0)()()0(FFF.在区间],[,],0[上分别应用罗尔定理，知存在),0(1和),(2，使0)(1F及0)(2F，即0)()(21ff.高等数学I解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.当0xx时，,xx都是无穷小，则当0xx时（D）不一定是无穷小.(A)xx(B)xx22(C))()(1lnxx(D))()(2xx2.极限axaxax1sinsinlim的值是（C）.（A）1（B）e（C）aecot（D）aetan3.001sin)(2xaxxexxfax在0x处连续，则a=（D）.（A）1（B）0（C）e（D）14.设)(xf在点xa处可导，那么hhafhafh)2()(lim0（A）.（A）)(3af（B）)(2af(C))(af（D）)(31af二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.极限)0(ln)ln(lim0axaaxx的值是a1.6.由xxyeyx2cosln确定函数y(x)，则导函数yxxeyexyxxyxyln2sin2.7.直线l过点M(,,)123且与两平面xyzxyz202356,都平行，则直线l的方程为131211zyx.8.求函数2)4ln(2xxy的单调递增区间为（－，0）和（1，+）.三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）9.计算极限10(1)limxxxex.解：11ln(1)12000(1)1ln(1)limlimlim2xxxxxxxeexxeeexxx10.已知：||3a，||26b，30ab，求||ab。解：1312cos1sin,135cos2baba，72ba11.设)(xf在[a，b]上连续，且],[)()()(baxdttftxxFxa，试求出)(xF。解：xaxadtttfdttfxxF)()()(xaxadttfxxfxxfdttfxF)()()()()()()(xfxF12.求3cos.sinxxdxx解：23cos1sinsin2xxdxxdxx2221111sinsinsincot2222xxxdxxxxC四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）13.求23221xxdx.令　1xt212322)1(1111dtttt原式dtt121232arcsint1232614.求函数212xxy的极值与拐点.解：函数的定义域（－，+）22)1()1)(1(2xxxy322)1()3(4xxxy令0y得x1=1,x2=-10)1(yx1=1是极大值点，0)1(yx2=-1是极小值点极大值1)1(y，极小值1)1(y令0y得x3=0,x4=3,x5=-3x(-,-3)(-3,0)(0,3)(3,+)y－+－+故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23）15.求由曲线43xy与23xxy所围成的平面图形的面积.解　:,,xxxxxx3232431240xxxxxx()(),,,.620602123　　　　　Sxxxdxxxxdx()()326023024334()()xxxxxx4236023402163233231645213471316.设抛物线24xy上有两点(1,3)A，(3,5)B，在弧AB上，求一点(,)Pxy使ABP的面积最大.解：AByxABPABxyxxxABP连线方程：　　点到的距离　的面积21045215235132()　　　Sxxxxx()()124523522322　　　　当　　SxxxSx()()4410　　　当时取得极大值也是最大值SxxSx()()401此时　　所求点为，y313()另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为ABCABCABCxxfxxxC,,,(),(),,(,)0020004253312113六、证明题（本大题4分）17.设0x，试证xxex1)1(2.证明：设0),1()1()(2xxxexfx1)21()(2xexfx，xxexf24)(，0)(,0xfx，因此)(xf在（0，+）内递减。在（0，+）内，)(,0)0()(xffxf在（0，+）内递减，在（0，+）内，),0()(fxf即0)1()1(2xxex亦即当x0时，xxex1)1(2。高等数学IA一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题,每小题4分,共16分)18.函数0,sin10,2tan