第1到第18届华杯赛复赛试题及详解第四部分

1第1到第18届华杯赛复赛试题汇编第四部分组合杂题统筹安排215.（第一届华罗庚金杯赛复赛第4题）在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？【分析】如果地的货物比地多，那么将地的货运往地比将地的货运往地省钱，因此，应将10吨货由一号仓库运到二号仓库。同样，应将这(10＋20)吨货由二号仓库运到五号仓库，共用：(10×400＋20×300)×0.5＝5000(元)216.（第二届华杯赛复赛第6题）下图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从出发走到，最快需要几分钟？50吨20吨10吨54321BA9715111051312175142【分析】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图、图所示首先我们将道路图逐步简化。从出发经过到的路线都要经过和。面从到有两条路线可走：需时间14＋13＝27（分钟）；需时间15＋11＝26（分钟）。我们不会走前一条路线，所以可将这段路抹去。但要注意，不能抹去，因为从到还有别的路线（例如）经过，需要进一步分析。由到也有两条路线可走：需16分钟，也是16分钟。我们可以选择其中的任一条路线，例如选择前一条，抹掉。（也可以选择后一条而抹掉。但不能抹掉，因为还有别的路线经过它。）这样，道路图被简化成图49的形状。在图中，从到有两条路线，经过的一条需14＋6＋17＝37（分钟），经过的一条需15＋11＋10＝36（分钟），我们又可以将前一条路线抹掉（图）。图中，从到也有两条路线，比较它们需要的时间，又可将经过的一条路线抹掉。最后，剩下一条最省时间的路线（图），它需要15＋11＋10＋12＝48（分钟）。3【又解】要抓住关键点。从到的道路如果经过点，那么，从到的道路中选一条最省时间的，即；从到的道路中也选一条最省时间的，即。因而从到经过的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即。它的总时间是48分钟。剩下的只要比较从到而不经过点的道路与道路，看那个更省时间。不经过点的道路只有两条①，它需要49分钟；②，它也需要49分钟。所以，从到最快需要48分钟。217.（第十一届华杯赛决赛第4题）图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量。现在从结点向结点传递信息，那么单位时间内传梯的最大信息量是（）。【分析】4.17218.（2010年第15届华杯赛决赛第13题）一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明.【解答】一种方案如下：把11辆货车顺序编号为1，2，3，…，11.先把1至8号车装上货物，每车一直装到不超过1.5吨为上限,只要再装一包便超过1.5吨为止，并把这8个最后一包分成两组，每组4包，每组重量不超过350×4=1400千克456791125FEDCBA4逻辑推理与体育比赛219.（第一届华罗庚金杯赛复赛第9题）甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？【分析】“甲已经赛了4盘”，说明甲与乙、丙、丁、小强各赛了1盘(小强与甲赛了1盘)“丁赛了1盘”，肯定丁只与甲比赛。“乙赛了3盘”，说明乙与甲、丙、小强各赛了1盘(小强与乙赛了1盘)。现在已经知道，丙赛的2盘是与甲、乙各赛了1盘，所以，小强赛了2盘.220.（第四届华杯赛复赛第11题）、、、、、六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天对，第二天对，第三天对，第四天对，问：第五天与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？【分析】第二天不能对，否则对。对与第三天对矛盾，所以应当对、对。第三天也不能对，否则对与第二天对矛盾，应当对(不能对，与第四天矛盾)，对，第四天对，对，所以第五天对，对，时。221.（第五届华杯赛复赛第5题）人的血通常为型，型，型，型。子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：父母的血型子女可能的血型，，，，，，，，，，，，，，，，，，5，，，，，，现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为、、。每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为、、。问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？【分析】题中表明，每个孩子的父母是同血型的，因此父母均型，孩子必型，父母均型，孩子必型(孩子为型的情况已被排除，0型孩子的父母已经确定为型)。父母为型，孩子为型，即红、黄、蓝上衣的孩子，父母分别戴蓝、黄、红帽子。222.（第十一届华杯赛决赛第3题）有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。现在甲、乙、丙分别得了7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（）分。【分析】共进行了6场比赛，甲、乙；甲、丙；甲、丁；乙、丙；乙、丁；丙、丁；甲得了7分，其中甲和乙踢平；则甲胜丙；甲胜丁；乙得1分，甲和乙又踢平，则丙胜乙，丁胜乙；丙得6分，甲又省乙，丙胜乙，则丙胜丁；所有比赛，丁只胜过乙一次，所以丁得3分。223.（第六届华杯赛复赛第10题）在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有三名专业选手与三名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见，用以下方法记分。开赛前每位迭手各有10分作为底分，每赛—场，胜者加分，负者扣分。每胜专业选手一场的加2分，每胜业余选手—场的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣l分。现问：一位业余选手至少要胜几场，才能确保他的得分比专业选手为高?【分析】设、、为业余选手，、、为专业选手如果胜4场，这时有两种情况：(1)胜、及两名专业选手这时4其增加1＋1＋2＋2－1＝5分。负于的专业选手至多增加1＋1－2＋2＋2＝4分。设,中胜，则也至多增加2＋2＋2－1－1＝4分．所以必定进入前三名。(2)胜三名专业选手及一名业余选手，这时共增加2＋2＋2＋1－1＝6分，每名专业选手至多增加2＋2－2＋1＋1＝4分，所以必定进入前三名如果胜3场，不一定能进入前三名。上图用→表示胜，等等．而、、、都胜及这时增加2＋2＋1－1－1＝3分，增加2＋2＋2－1－＝4分，增加26＋2＋1＋1＋1＝5分，增加2＋2＋1＋1－2＝4分，所以只能是第四名。因此业余选手至少胜4场，才能保证进入前三名。注：本题原来的标准解答有错，误以为胜3场就够了。224.（2010年第15届华杯赛决赛第11题）足球队，，，，进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。若，，，队总分分别是1，4，7，8，请问：队至多得几分？至少得几分？【解析】设A、B、C、D、E五队总分分别为a、b、c、d、e，五队总和20Sabcdee五队总循环赛共25C10场，∴最多30分，每增加一场平局，总分少1分．1000a，431001111b7310c，83311d至少3场平局：至多5场平局：013112211220211ABCDE胜平负013040211222121ABCDE胜平负∴25202757ee≤≤≤≤注意这种论证与构造相结合的解题思路．225.（2012年第17届华杯赛决赛B卷第7题）有16位选手参加象棋晋级赛,每两人都只赛一盘.每盘胜者积1分,败者积0分.如果和棋,每人各积0.5分.比赛全部结束后,积分不少于10分者晋级.那么本次比赛后最多有______位选手晋级.【分析】11构造与论证226.（第五届华杯赛复赛第17题）现有11块铁，每块的重量都是整数，任取其中10块，都可以分成重量都等的两组，每组有5块铁，试说明：这11块铁每块的重量都相等。【分析】任取一块后，其余的可分成两组，重量相等，因此，其余的铁块的重量的和是偶数，换句话说，11块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同。这样，11块铁的重量，或者全是奇数，或者全是偶数。7如果全是偶数，将每块铁的重量减少一半，仍然符合题中的条件。如果全是奇数，将每块铁的重量增加1，仍然符合题中的条件。不断采取以上两种做法。注意铁的重量增加1后，就应当除以2(即减少一半)。因此铁的总重量将不断减少。除非每块铁的重量都是1因为铁的总重量不能无限的地减少下去，所以经过若干次上述的做法后，铁块的重量全变为1，即全都相等。将这一过程反回去，就知道上一步铁块的重量也都相等，于是最初的铁块重量也都相等。227.（2012年第17届华杯赛决赛A卷第10题）能否用500个右图所示的1×2的小长方形拼成一个的5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由【答案】能；228.（2012年第17届华杯赛决赛B卷第9题）能否用540个右图所示的1×2的小长方形拼成一个的6×180的大长方形，使得6×1800的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由【答案】能229.（2012年第17届华杯赛决赛C卷第11题）能否用500个右图所示的1×2的小长方形拼成一个的5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由8答案：能230.（2010年第15届华杯赛决赛第9题）如图有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成图中的45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。【解析】不能，对45长方形作黑白染色黑格数白格数，但若对、、、、这五个图形进行黑白染色，图①②③⑤黑格白格但图④黑白，∴办不到．周期性问题231.（第二届华杯赛复赛第10题）一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？【分析】观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数。这个规律是不难解释的：因为两个奇数的和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数。另一方面，一个奇数和一个偶数的和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数。这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等。①②③④⑤9因此，偶数出现在第三、第六、第九…第九十九个位子上。所以偶数的个数等于100以内3的倍数的个数，即等于99÷3＝33，于是，这串数的前100个数中共有33个偶数。232.（第三届华杯赛复赛第2题）某年的10月里有5个星期六，4个星期日．问：这年的10月1日是星期几？【分析】10月有31天，因为有5个星期六，只有4个星期日，所以10月31日是星期六．因为31＝4×7＋3，所以，3日也是星期六，1日是星期四。233.（第三届华杯赛复赛第3题）电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？【分析】电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置，由于1991＝165×12＋11所以红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，跳到了标有数字“11”的圆圈。同理，由1949＝162125，知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按逆时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈，于是所求的乘积是11×7＝7710234.（第八届华杯赛复赛第12题）电予跳蚤游戏盘(如下图)为ABC，8AB，9AC，10BC，如果电子跳蚤开始时在BC边上的0P点，04BP．第一步跳蚤跳到AC边上1P点，且1