15.6球面距离(教师版)

O'BAO第15章简单几何体(教师版)三几何体的表面积、体积和球面距离15.6球面距离一．要点呈现1、在平面上，通过两点间的线段的长来定义的两点间的距离的，因为平面上两点间的线段的长最短,我们在谈到距离时，一定要满足最小性的原则.2、在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度，这个弧长叫两点间的球面距离．3、经线和纬线的规定：过南北极的半个大圆是经线，赤道和平行于赤道的小圆是纬线.4、P地的纬度是指：经过P点的球半径和赤道平面所成的角度.5、P地的经度的规定：经过P点的经线与地轴确定的半平面和0度经线与地轴确定的半平面所成的二面角的度数.6、求球面上两点间的球面距离，关键在于求这两点所对应的球心角的大小，最后用弧长公式进行求解,但是求出的球心角必须要求用弧度制表示.二．范例导析【例1】地球仪的北纬60度圈上有,AB两点，它们在纬度圈上的弧长等于4r（r为地球仪半径）.（1）求,AB两点间的距离；（2）求,AB两点的球面的距离.分析：注意两点间的距离与两点的球面的距离的差别.解答：（1）22r（2）3arccos4r【例2】球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的41，B和C之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC的距离是721，求球的体积.分析：设球心为点O，由球面距离得到AOB、AOC及BOC的大小，从而知ABC的形状，找到球心在截面ABC的射影，解三角形求出球的半径即可得球的体积.解答：43V【例3】如图，四棱锥A－BCDE中，BCDEAD底面，且AC⊥BC，AE⊥BE．若90CBE，3CE，1AD；（1）求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；（2）求B、D两点间的球面距离．分析：证明AB的中点到A、B、C、D、E五点距离都相等；求B、D两点对球心所张得角解答：（1）略（2）23三．随堂训练一．填空题1.地球上的A点在东经400，北纬150，B点在东经400，北纬600，若地球半径为R，则A、B两点的球面距离为4R.2.把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，A、B两点间的球面距离为5arccos8R．3.已知点A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.若AB=6，AC=213，AD=8，则B，C两点间的球面距离是43.4.在体积为43的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC=2，A、C两点的球面距离为33，则球心到平面ABC的距离为32．5.在半径为3的球面上有CBA、、三点，ABC=90°，BCBA，球心O到平面ABC的距离是223，则CB、两点的球面距离是．6.如图，O是半径为1的球的球心，点CBA，，在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧⌒AB与⌒AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是3.二．选择题7.下列四个命题中错误．．的个数是（C）①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆②球面积是它大圆面积的四倍③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长A.0B.1C.2D.38.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（B）A.43B.23C.2D.39.球的半径为R，,AB是球面上两点，且球面距离为3R，则球心到过,AB的所有平面的距离中，最大距离为（B）A.RB.32RC.12RD.不存在三．解答题10.把地球当作半径为R的球，地球上,AB两点都在北纬45的纬线上,,AB两点的球面距离是3R，A在东经20，求B点的位置。答案：东经110或西经7011.已知地球半径约为6371千米。上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°。（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）答案：（1）上海到大连的最短飞行时间约为1.2小时；（2）大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米12.如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点,2AB，4BC，60ABC，O为球心，求：（1）AC、两点的球面距离；（2）直线OA与截面ABC所成的角．答案：（1）233（2）3arccos3四．提高拓展13．飞机从A处(北纬45，东经120)，向西飞到C处(北纬45，东经30)然折后向南飞至B处(南纬30，东经30)，求飞机的航程．答案：34R14.四面体ABCD中，41CDAB,34BDAC,5BCAD,求该四面体的外接球的表面积及BC、两点的球面距离．答案：四面体的外接球的表面积：50BC、两点的球面距离：504四．反馈跟进五．学能导航【要点剖析】球面距离问题是立体几何教学中的一个难点，课本内容很少，而可以联系的内容却很多。学习本主题要求达到理解球面距离的合理性，掌握球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．本堂课主要探究了如何求球面上两点间的球面距离，关键在于求这两点所对应的球心角的大小，最后用弧长公式进行求解。但是求出的球心角必须要求用弧度制表示．本主题的重点是：球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神，并能够解决实际问题。难点是实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用．【方法点评】渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐。结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．本节课对“球面距离”的认识，是学生从亲身动手实验中直接感受球面距离的发现过程，从感性过度到理性的认知过程来研究球面距离，为解决生活中的某些实际问题做铺垫，让学生体会知识来源于实践并学以致用．六．自我反思