相似三角形培优试题

新栋力文化传播有限公司1、（本题满分7分）如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）CGAE；（2）.MNCNDNAN2、(本题满分7分)如图11，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求四边形CEFB的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若15BEC，求AC的长．新栋力文化传播有限公司3、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.4、如图（4），在正方形ABCD中，EF、分别是边ADCD、上的点，14AEEDDFDC，，连结EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：ABEDEF△∽△；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．AcEcDcFcBcCcGc图（4）新栋力文化传播有限公司5．如图（15），在梯形ABCD中，906DCABAAD∥，°，厘米，4DC厘米，BC的坡度34i∶，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ△的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？6．（本题满分9分）一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）CcDcAcBcQcPc图（5）图１ＥGＢACFＡDＡＣＢDEF图２第6题图新栋力文化传播有限公司7、如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．8、（本题满分12分）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′=▲°．问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3ABCEFGPQ图1图2C'A'BADCABCDBCDA(A')C'新栋力文化传播有限公司拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.9.（本小题12分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：（1）、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；（2）、再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。图4MNGFECBAH新栋力文化传播有限公司参考答案1、证明：（1）四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,,90,ADCDDEDGADCEDG,ADECDGADECDG△≌△，3分AECG4分（2）由（1）得，又CNDANMDCGDAECDGADE,,∴AMN∽CDN6分ANMNANDNCNMNCNDN，即7分2、解：（1）由平移的性质得//3EFABAFABCAFBCAFBCEFAABCAFBCSSS且，△≌△，四边形为平行四边形，，9EFBC四边形的面积为．··········································································3分（2）AFBE．证明如下：由（1）知四边形AFBC为平行四边形////BFACBFACAECABFAEBFAEEFBAABACABAE且，又，且，四边形为平行四边形又已知，，EFBABEAF平行四边形为菱形，··························································5分分为正数且则设中在，，，，于作7......................32,3,,3,22121,3,2,.2,,3021515)3(22ACxxxxxxBDACSSxABACxBDBDABBADRtBECBACBECEBAABAEBECDACBDABCABC3、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4新栋力文化传播有限公司又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=63)33(2222AEAD∵△ADF∽△DEC∴CDAFDEAD∴4633AFAF=324、（1）证明：ABCD为正方形，90ADABDCBCAD，°．1分12AEAEEDAB，．3分又1142DFDFDCDE，．AEDFABEDEFABDE．△∽△．5分（2）解：ABCD为正方形，EDDFEDBGCGCF∥．．7分又14DFDC，正方形的边长为4．26EDCG，．9分10BGBCCG．5．解：（1）作CEAB于点E，如图（3）所示，则四边形AECD为矩形．46AECDCEDA，．·························1分又3344CEiEB∶，．812EBAB，．·······································2分在RtCEB△中，由勾股定理得：2210BCCEEB．···································································3分（2）假设PC与BQ相互平分．由DCAB∥，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上）．4分图（3）CcDcAcBcQcPcEc新栋力文化传播有限公司即310122CQBPtt，．5分解得225t，即225t秒时，PC与BQ相互平分．7分（3）①当Q在BC上，即1003t≤≤时，作QFAB于F，则CEQF∥．QFBQCEBC，即396105QFttQF．．8分119(122)225PBQtSPBQFt△··=2981(3)55t．9分当3t秒时，PBQS△有最大值为2815厘米．10分②当Q在CD上，即101433t≤≤时，11(122)622PBQSPBCEt△·=366t．11分易知S随t的增大而减小．故当103t秒时，PBQS△有最大值为210366163厘米．29541055381165101463633tttytt，0≤，．≤≤综上，当3t时，PBQS△有最大值为2815厘米．12分6、（本题满分9分）解：由1.5ABm，1.5ABCS△m2，可得2BCm．由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm，由DEAB∥，得CDECBARt△∽Rt△，21.52xBCxxxABBC，即，3631.523.57xxx，m．4分由图2，过点B作ABCRt△斜边AC上的高BH交DE于P，交AC于H．由1.5ABm，BC2m，得22221.522.5ACABBC（m）．图１ＡＣＢDEFx新栋力文化传播有限公司由ACBHABBC可得，1.521.22.5ABBCBHACm．···················6分设乙设计的桌面的边长为ym，DEAC∥，BDEBACRt△∽Rt△，BPDEBHAC即1.21.22.5yy，解得3037ym．226303073537xy，，甲同学设计的方案较好7、答案：（1）用边角边证明△AOE’和△BOF’全等，即可证得AE’=BF’(2)取OE’的中点G,得到等边△AOG，等到∠AGO=60°，又由AG=E’G得到∠AE’O＝30°，从而得到∠OAE’是90°，即为直角三角形。8.解：情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴AGEP=ABEA.同理△ACG∽△FAQ，∴AGFP=ACFA.∵AB=kAE，AC=kAF，∴ABEA=ACFA=k，∴AGEP=AGFP.∴EP=FQ.ＥGＢACFＡD图２HＡPＡyＡQPHABCEFGNM新栋力文化传播有限公司9．解：①结论：能．设AP=xcm，则PD=(10-x)cm．因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，所以∠DPC=∠ABP．所以△ABP∽△DPC．则AB/PD=AP/DC，即AB·DC=PD·AP．所以4×4=X(10-X)，即x2-10x+16=0．解得x1=2，x2=8．所以AP=2cm或8cm．②结论：能．设AP=Xcm，CQ=ycm．由于ABCD是矩形，∠HPF=90°，所以△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ所以AP·CE=AB·CO，AP·PD=AB·DQ，所以2x=4y，即y=x/2，①x(10-x)=4(4+y)．②消去y，得x2-8x+16=0，解得x1=x2=4，即AP=4cm．