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1高二数学选修2-2、2-3测试题一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.过函数图象上点O（0，0），作切线，则切线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数，导函数，时，，所求切线斜率为，所求切线方程为，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.2.设,则()A.256B.0C.D.1【答案】D【解析】，令得，即，故选D.3.定义运算，则(是虚数单位)为()A.3B.C.D.【答案】B学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...4.任何进制数均可转换为十进制数,如八进制转换成十进制数，是这样转换的：,十六进制数,那么将二进制数转换成十进制数，这个十进制数是（）A.12B.13C.14D.152【答案】B【解析】，所以将二进制数转换成十进制数，这个十进制数是，故选B.5.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的条直线把平面分为部分，则。”在证明第二步归纳递推的过程中，用到+。()A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，有，那么当时，从“到”左端需增加代数式在证明第二步归纳递推的过程中，用到，故选C.6.记函数表示对函数连续两次求导,即先对求导得,再对求导得,下列函数中满足的是（）A.B.C.D.【答案】C7.甲、乙速度与时间的关系如下图，是时的加速度，是从到的路程，则与，与的大小关系是()A.，B.，3C.，D.，【答案】C【解析】因为加速度是速度对的导数，根据导数的几何意义可知，加速度是速度对函数的切线斜率，由图可得在处，甲的切线斜率小于甲的切线斜率，即甲在处的加速度小于乙在处的加速度；由图知到甲的速度总大于乙的速度，所以甲从到的路程大于乙从到的路程，只有选项符合题意，故选C.8.如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A.6条B.7条C.8条D.9条【答案】A【解析】共有3个顶点与点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达点，所以，蚂蚁从沿着长方体的棱以规定的方向行走至，不同的行走路线有：（条），故选A.9.如图，是导数y=f′（x）的图象，则函数y=f（x）的图象是（）4A.B.C.D.【答案】D【解析】由的图象可知，时，，可得函数是减函数；时，，可得函数是增函数；时，，可得函数是减函数；由导函数图象可知，时，，说明时，函数的切线斜率趋向于零，由此可以判断函数的图象为，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与其导函数的图象，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.510.设，由到上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是()A.120B.240C.D.360【答案】B【解析】有个元素，则由到上的一一映射中，分两步：先挑出个数字和自身对应共有种方法，剩余三个元素都不与自身对应共有种对应方式，所以，有个数字和自身对应的映射个数是种，故选B.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）11.公式__________________________揭示了微积分学中导数和定积分之间的内在联系;提供了求定积分的一种有效方法。【答案】【解析】若，则的不定积分为，所以可得定积分故答案为.12.若有一组数据的总偏差平方和为100，相关指数=0.75，则其残差平方和为_______。【答案】25【解析】因为数据的总偏差平方和为，相关指数，，，故答案为.13.已知数列为等差数列，则有6类似上三行,第四行的结论为__________________________。【答案】【解析】观察前三个式子，可知三个式子的项数分别是，所以第四个式子有项，前三个式子奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式，所以第四项的结论：，故答案为.【方法点睛】本题通过观察几组多项式式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.14.已知长轴长为，短轴长为椭圆的面积为，则=___________。【答案】【解析】设，则对应的曲线为椭圆的上半部分，对应的面积，根据积分的运算法则可得，，故答案为.三.解答题（本大题6个小题，共80分）15.如图，阴影部分区域是由函数图象，直线围成，求这阴影部分区域面积。【答案】7【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知，所求阴影部分的面积为，利用微积分定理计算即可.试题解析：所求图形面积为.【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16.据研究,甲磁盘受到病毒感染，感染的量y(单位:比特数)与时间x(单位:秒)的函数关系是,乙磁盘受到病毒感染，感染的量y(单位:比特数)与时间x(单位:秒)的函数关系是,显然当时，甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之.【答案】【解析】试题分析：因为甲磁盘受到感染的感染增长率是的导数,乙磁盘受到病毒感染增长率为的导数，又因为当时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大，构造函数,利用导数证明即可.试题解析：因为甲磁盘受到感染的感染增长率是的导数,乙磁盘受到病毒感染增长率为的导数又因为当时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大下面证明:,,,所以在上是增函数,即.17.(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量8试写出随机变量的分布列(用表格格式);(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）抛掷一颗骰子两次,共有种不同结果，当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时，有种情况，所以，由对立事件概率公式得，即可写出随机变量的分布列；（2）利用条件概率公式，即可得出结论.试题解析：(1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有6种情况,所以,由互斥事件概率公式得,)所以所求分布列是(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为或18.已知函数（1）求的极值；（2）请填好下表(在答卷),并画出的图象(不必写出作图步骤)；（3）设函数的图象与轴有两个交点，求的值。【答案】（1）见解析（2）当时有极大值7,当时有极小值-20（3）【解析】试题分析：（1）求导数,解方程求出函数定义域内的所有根；列表检查在的根9左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（2）直接将表格中数据代入解析式，然后描点、连线即可；（3）由（1）知当时有极大值,当时有极小值，可得函数的图象与轴有两个交点时，或.试题解析：（1），令得-（2分）由表知,当时有极大值7,当时有极小值-20.（2）画对图（3）由（1）知当时有极大值,当时有极小值，再由（2）知，当的极大值或极小值为0时，函数的图象与轴有两个交点，即10.19.编辑一个运算程序：，，．（1）设，求；（2）由（1）猜想的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想。【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据运算程序，翻译成四则运算可求得；（2）根据（1）中的结果，到每项的值都是项数的二倍，由此可猜得（3）验证时，猜想成立，假设假设当时，猜想成立，只需根据运算程序证明当时猜想也成立即可.试题解析：（1），令，则由，，得再令，则，得再令，则，得（2）由（1）猜想：（3）证明：①当时，，另一方面，，所以当时等式成立.②假设当时，等式成立，即，此时，那么，当时所以当时等式也成立.由①②知，等式对都成立.【方法点睛】本题考查归纳推理与数学归纳法、以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义一个运算程序达到考查归纳推理与数学归纳法的目的.20.为研究“在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率的和”这个课题，我们可以分三步进行研11究：（I）取特殊事件进行研究;(Ⅱ)观察分析上述结果得到研究结论；（Ⅲ）试证明你得到的结论。现在，请你完成:(1)抛掷硬币4次,设分别表示正面向上次数为0次,1次,2次,3次,4次的概率,求(用分数表示),并求;(2)抛掷一颗骰子三次,设分别表示向上一面点数是3恰好出现0次,1次,2次,3次的概率,求(用分数表示),并求;(3)由(1)、(2)写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明.【答案】（1）（2），（3）在n次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率的和为1.【解析】试题分析：（1）拋掷硬币掷得正面向上的次数服从二项分布，即，分别求得的值，可得的值；（2）抛掷骰子掷得向上一面点数是的的次数服从二项分布，即，分别求得的值，可得的值；（3）是必然事件,所以在次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率的和为.试题解析：(1)用表示第次抛掷硬币掷得正面向上的事件,则发生的次数服从二项分布,即∽所以所以(2)用表示第次抛掷骰子掷得向上一面点数是3的事件,则发生的次数服从二项分布,即∽,所以所以(3)在n次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率的和为1证明:在n次独立重复试验中,事件A每一次发生的概率为,12则∽,,或这样解释:是必然事件,所以在n次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率的和为1.13