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填空压轴之几何图形多解问题1.已知正方形ABCD的边长为42，如果P是正方形对角线BD上一点，满足△ABP≌△CBP，若△PCB为直角三角形，则BP的长为________．2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE＝________．第2题图第4题图3.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接PB、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为________．4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别为直线AB、BC上的点，满足PD⊥PQ，则当△PDQ为等腰三角形时，AP的长为________．5.已知△ABC中，tanB＝23，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为________．6.如图，有一张面积为10的三角形纸片，其中一边AB为4，把它剪开两次拼成一个矩形(无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与AB平行，则矩形的周长为________．第6题图第7题图7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，MN为对角线BD的垂直平分线，以BD为底边作等腰三角形BPD，使得点P落在直线MN上，且PD＝5，则AP＝________．8.在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2＋2，D是边AC上的动点，满足BD的垂直平分线交BC于点E，若△CDE为直角三角形，则BE的长为________．9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，若△BCD是等腰三角形，则四边形BDFC的面积为________．第9题图第10题图10.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为________．11.已知在Rt△ABC中，斜边AB＝5，BC＝3，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，那么当点C′落在直线AB上时，BB′＝________12.△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C＝4，连接A′C，则△A′B′C的周长为________．13.如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使CD落在直线AB上，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，若BD′＝1，则AD的长为__________．第13题图第14题图14.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．如图，在互补四边形纸片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为________．15.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为________．第15题图1.4或8【解析】由题可知，∵△ABP≌△CBP，∴点P一定处于正方形对角线BD上，∴共存在两种情况使△PBC为直角三角形，(1)如解图①，当CP⊥PB时，有PC2＋PB2＝BC2.又∵∠CBP＝45°，∴PB＝PC，∴BP＝4；(2)如解图②，当P点与D点重合时△PBC为直角三角形，BP＝2BC＝8.第1题解图2.3或6【解析】如解图①，当∠AFE＝90°时，设BE＝x，则EF＝x，AE＝8－x，FC＝BC＝6，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝10，∴AF＝10－6＝4，在Rt△AEF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴BE＝3；如解图②，当∠AEF＝90°时，四边形BCFE是正方形，BE＝BC＝6.综上所述，BE＝3或6.第2题解图3.5或6【解析】如解图①，当PB＝PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP＝DP＝12AD＝3，在Rt△ABP中，由勾股定理可得PB＝AP2＋AB2＝32＋42＝5；如解图②，当PB＝BC＝6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．综上所述，PB的长度为5或6.第3题解图4.1或7【解析】∵△PDQ是等腰三角形，∴分三种情况：①如解图①，若点P在线段AB上，∠DPQ＝90°，∴PD＝PQ，∠APD＋∠BPQ＝90°，∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠BPQ，∴△DAP≌△PBQ(AAS)，∴PB＝AD＝3，∴AP＝4－3＝1；②如解图②，若点P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于点Q，PD＝PQ，同理可证△ADP≌△BPQ，∴AD＝PB，∴AP＝AB＋AD＝3＋4＝7；③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立，故AP的长为1或7.参考答案第4题解图5.8或24【解析】如解图①，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝4，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝4×23＝83，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×83＝8；如解图②，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝12，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝12×23＝8，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×8＝24.∴△ABC面积的所有可能值为8或24.第5题解图6.13或14【解析】分为两种情况：①如解图①，沿MN剪开，再沿CQ剪开(CD⊥AB于点D，MN为△ABC的中位线，CD交MN于点Q)，将△CQN放在△BFN的位置上，△CQM放在△AEM的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD，解得CD＝5，∵MN为△ABC的中位线，∴CQ＝DQ＝12CD＝2.5，∴矩形AEFB的周长为(2.5＋4)×2＝13；②如解图②，沿NQ、MT剪开(N、M分别为AC、BC中点，EQ⊥BA于点Q，FT⊥AB于点T，CD⊥AB于点D)，将△AQN放在△CEN的位置上，△BTM放在△CFM的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD，解得CD＝5，∵N为AC中点，CD∥EQ，∴AQ＝DQ，同理BT＝DT，∴QT＝12AB＝2，∴矩形EQTF的周长为(5＋2)×2＝14.故答案为13或14.第6题解图7.3或41【解析】如解图，连接BM，DN，AN，得到四边形BNDM为菱形，∴BM＝MD，AM＋MD＝AM＋BM＝AD＝8，在Rt△ABM中，设AM＝x，则BM＝8－x，AB＝4，根据勾股定理得：x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AM＝3，MD＝5.当PB和PD在BD上方时，点P与点M重合，则AP＝AM＝3；当PB和PD在BD下方时，点P与点N重合，由对称性得到PD＝ND＝BN＝MD＝5，在Rt△ABN中，AB＝4，BN＝5，根据勾股定理得：AN＝AB2＋BN2＝42＋52＝41，此时AP＝AN＝41.综上所述，AP的长为3或41.第7题解图8.2＋1或2【解析】①当∠CED＝90°时，点D与点A重合，E是BC的中点，如解图①.∵BC＝2AB＝2(2＋2)＝2(2＋1)，∴BE＝12BC＝12×2(2＋1)＝2＋1；②当∠CDE＝90°时，如解图②，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝2DE，易得BE＝DE，∴CE＝2BE，∴CE＋BE＝2BE＋BE＝2(2＋1)．∴BE＝2.综上所述，若△CDE为直角三角形，则BE的长为2＋1或2.第8题解图9.62或35【解析】∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，∵∠BEC＝∠FED，CE＝DE，∴△BEC≌△FED(AAS)，∴BE＝FE，∴四边形BDFC是平行四边形，①当BC＝BD＝3时，在Rt△ABD中，AB＝32－12＝22，S四边形BDFC＝3×22＝62；②当BC＝CD＝3时，如解图，过点C作CG⊥AF于点G，则四边形ABCG是矩形，∴AG＝BC＝3，∴DG＝AG－AD＝3－1＝2，在Rt△CDG中，CG＝32－22＝5，∴S四边形BDFC＝3×5＝35；③BD＝CD时，BC边上的中线应与BC垂直，从而BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立．故四边形BDFC面积为62或35.第9题解图10.6＋27或6－27【解析】如解图①，F是线段CD上一动点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝BC2＋EB2＝（23）2＋42＝27，∴CF＝CE＝27，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD－CF＝6－27；如解图②，F是DC延长线上一点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠BEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝BC2＋EB2＝（23）2＋42＝27，∴CF＝CE＝27，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋27，故答案为6＋27或6－27.图①图②第10题解图11.10或310【解析】①如解图①，当点C′在线段AB上时，∵AB＝5，BC＝3，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴AC′＝4，BC′＝1，B′C′＝3，∴BB′＝（B′C′）2＋（BC′）2＝10；②如解图②，当点C′在线段BA的延长线上时，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴BC′＝9，B′C′＝3，∴BB′＝（BC′）2＋（B′C′）2＝310.故长BB′长为10或310.图①图②第11题解图12.12或8＋43【解析】当点B′在线段BC上，如解图①，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，BC＝B′C′＝6，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴△A′B′C为等边三角形，∴△A′B′C的周长为12；当点B′在线段BC的延长线上，如解图②，作B′H⊥A′C，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴∠B′CA＝∠B′A′C，CH＝A′H，而∠A′B′C′＝∠B′CA′＋∠B′A′C，∴∠B′CA′＝30°，在Rt△B′CH中，∵∠B′CH＝30°，∴B′H＝12CB′＝2，∴CH＝3B′H＝23，∴A′C＝2CH＝43，∴△A′B′C的周长＝4＋4＋43＝8＋43.故答案为12或8＋43.第12题解图13.4或8【解析】如解图①，当点D′在线段AB上时，AD′＝AB－BD′＝3－1＝2，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，由折叠的性质得ED′＝ED，∴ED′＝AE，∵∠A＝60°，∴△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝2，∴AD＝4.如解图②，当点D′在AB的延长线上时，AD′＝AB＋BD′＝4.同理可知△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝4，∴AD＝8.图①图②第13题解图14.22＋6或42＋26【解析】如解图①，作CE∥AB交BD于点E，延长CE交AD于点F，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，∵BA＝BC，∴此时的平行四边形ABCE为菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝30°，AB∥CF，∴∠CFD＝90°，∠BCE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，设BG＝m，则BA＝2m，∵菱形ABCE的面积为4，∴2m×m＝4，解得m＝2(负值舍去)，∴AE＝CE＝BA＝22，EF＝AE·cos30°＝6，∴CF＝22＋6，在Rt△CFD中，CD＝2CF＝42＋26；如解图②，作BE∥AD交CD于点E，作BF∥CD交AD于点F，根据折叠与裁剪可知BE＝BF，此时的平行四边形BEDF也