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1第四讲：数几何图形的个数“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。一、数线段1.数出下列每条线段上线段的总条数。分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。数时可以先数最基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后把各种“线段”条数相加起来。法一：照下面的方法数(以第2小题为例)：3+2+1=6（条）法二：(规律)线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。（1）（条）（2）（条）（3）（条）二、数角2.数出右图中总共有多少个角.分析与解：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即2∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.令狐老师注：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【巩固】数一数右图中总共有多少个角？分析与解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形3.如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析与解：方法一：(1)先数图中包含一个小三角形个数：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC共4个三角形.(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：△ABE、△ADF、△AEC共3个三角形，(3)以三个小三角形组合在一起的三角形：△ABF、△ADC共2个三角形，(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.方法二：我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。根据例1可知，BC边上的线段有6条，那么，以BC边上线段为第三边的三角形就有6个令狐老师注：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.3【巩固】数出下面图中三角形的个数。分析与解：仔细观察图形，可以发现，所构成的每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或DE上的线段，BC和DE上有多少条线段就有多少个三角形，这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。根据例1可知，BC边上的线段有15条，那么，以BC边上线段为第三边的三角形就有15个。同理，DE边上的线段15条，以DE边上的线段为第三边的三角形也有15个。所以，图中共有三角形（个）4.数出下图（图1）中三角形的个数。分析与解：明显地，这个图形与上一道例题中数三角形的个数有很大的区别，所以上例的解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数，我们可以用分类的方法来数。怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形编上号码，如图2所示。由1个三角形构成的三角形有6。由2个三角形构成的三角形有2个，即（1，2），（4，5）由3个三角形构成的有4个，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）所以，此图中共有三角形：（个）45.数一数，下图中有多少个三角形？分析与解：观察上面图形中这些三角形，可以分为尖朝上和尖朝下两大类，将尖朝上的三角形1—8依次编上序号，尖朝下的三角形用A、B、C、D、E、F、G、H依次标上字母（如下图）（1）标上数字和字母的基本三角形共有：（个）（2）由四个基本三角形组成的三角形，尖朝上的有3个，尖朝下的有3个，所以这个图形共有三角形：（个）【巩固】数一数，下图中各有多少个三角形？分析与解：（1）基本三角形16个由2个基本三角形组成的有16个由4个基本三角形组成的有8个由8个基本三角形组成的有4个共有三角形：个。（2）基本三角形有12个由4个基本三角形组成的三角形有6个。由9个基本三角形组成的三角形有2个。共有三角形（个）5四、数长方形6.如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析与解：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.令狐老师注：长方形的总数为：宽的线段条数×长的线段条数五、数正方形7.如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析与解：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）.6④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）【巩固】下图中有多少个正方形？分析与解：按照方向数。正方形的个数：（1）正方的：1×1的有8个；2×2的有2个；（2）斜放的：九宫格，有22214312个；【巩固】下面的55和64图中共有____个正方形．【解析】在55的图中，边长为1的正方形25个；边长为2的正方形24个；边长为3的正方形23个；边长为4的正方形22个；边长为5的正方形有21，总共有222225432155(个)正方形．在64的图中边长为1的正方形64个；边长为2的正方形53个；边长为3的正方形42个；边长为4的正方形31个；总共有6453423142(个)．六、数物体个数下面我们轻松一下，来数数几个物体的个数8.如右图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数并计算出共有多少块。7分析与解：分层数，从顶层开始数，各层小立方块数是：第一层：1块；第二层：4块；第三层：9块；第四层：16块；总块数1+4+9+16=30（块）。【巩固】请你数一数共有多少小立方体？分析与解：分排数，从右往左数，并且编号第一排：1块；第二排：7块；第三排：5块；第四排：9块；第五排：16块；总数：1+7+5+9+16=38（块）。【下面补充一道推理题】1.用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？8【解析】在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．