《平面直角坐标系》教学设计

1/171.1平面直角坐标系（谷杨华）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想．（二）学习目标1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系．2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想．（三）学习重点1．根据几何特征选择坐标系．2．坐标法思想．3．平面直角坐标系中的伸缩变换．（四）学习难点1．适当直角坐标系的选择．2．对伸缩变换中点的对应关系的理解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点),(yxP对应到点),(yxP,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2．预习自测（1）如何由正弦曲线y＝sinx经伸缩变换得到y＝12sin12x的图象()A．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍2/17D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线y＝sinx的横坐标伸长为原来的2倍得到xy21sin，再由xy21sin的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y＝12sin12x的图像．【思路点拨】可根据三角函数的知识求解【答案】D（2）在平面直角坐标系中，BA,两点分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝4，则AB中点P的轨迹方程为________．【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】设),0(,),0,(nBmA，则16222nmAB，再设线段AB中点P的坐标为),(yx，则2,2nymx，ynxm2,2，所以164422yx，即AB得中点的轨迹方程为422yx．【思路点拨】由两点间距离公式表示出AB，再利用中点坐标公式建立线段AB的中点与其两端点的坐标关系，最后代入整理即可．【答案】422yx．（3）在平面直角坐标系中，方程142yx对应的图形经过伸缩变换yyxx42后得到的图形对应的方程是（）A．0142yxB．01yxC．014yxD．0116yx【知识点】伸缩变换【解题过程】将yyxx42经过变形得yyxx4121代入到方程142yx，整理得01yx【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为yyxx11，在代入原图形对应的方程，从而得到3/17变形后的图形对应的方程．【答案】B（4）将圆122yx上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C对应的方程为________．【知识点】伸缩变换【数学思想】【解题思路】设),(11yx为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C上对应的点为),(yx，依题意，得112yyxx，而12121yx，得1)2(22yx，所以曲线C的方程为1422yx．【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】1422yx(二)课堂设计1．知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系．2．问题探究探究一结合实例，感受坐标法思想★例1某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）●活动①实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为CBA,,，爆炸点记为P.由于CB,同时听到由点P发出的响声，因此PCPB，所以点P在线段BC的垂直平分线l上，由于点A听到的响声比CB,晚s4，所以ABPBPA13603404，说明点P在以点BA,为焦点的双曲线4/17上,所以点P在直线l与双曲线的交点.【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义【数学思想】数形结合，转化与化归【解题过程】解:以信息中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设CBA,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(CBA于是直线l的方程为xy设双曲线的方程是)0,0(12222babyax由已知得222234056801020,1020,680bca,于是双曲线的方程是134056802222yx将xy代入上述方程,解得5680,5680yx,由已知,响声在双曲线的左半支上,所以)5680,5680(P,10680OP所以巨响发生在接报中心的西偏北45距中心m10680处.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题.【答案】巨响发生在接报中心的西偏北45距中心m10680处.同类训练由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6km处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【知识点】平面直角坐标系的应用【数学思想】坐标法思想【解题过程】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐5/17标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)，∴kPA＝538－3＝3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程．●活动②归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③学以致用,理论实践例2已知△ABC的三边cba,,满足2225acb,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BEABCOyxFE6/17与CF的位置关系.【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程【数学思想】数形结合【解题过程】解:如图,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系.由已知,点A,B,F的坐标分别为)0,2()0,(),0,0(cFcBA,设点C的坐标为),(yx,点E的坐标为)2,2(yx.由2225acb可得2225BCABAC即22222)(5ycxcyx,整理得05222222cxcyx因为),2(),2,2(yxcCFycxBE所以0)5222(41222cxcyxCFBE由此,BE与CF相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题.【答案】BE与CF相互垂直.同类训练已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系【数学思想】数形结合思想【解题过程】如右图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0,23a),B(-2a,0),C(2a,0).7/17设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+(y-23a)2+(x+2a)2+y2+(x-2a)2+y2=3x2+3y2-3ay+452a=3x2+3(y-63a)2+a2≥a2,当且仅当x=0,y=63a时,等号成立∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,63a),是正三角形ABC的中心.【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题【答案】所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,63a),是正三角形ABC的中心【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势.探究二探究平面直角坐标系中的伸缩变换●活动①温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线xysin怎样得到曲线xy2sin吗？在由正弦曲线xysin上任取一点),(yxP，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的21，就的到曲线xy2sin.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的21”的实质是什么？（讨论）即，设),(yxP为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的21，得到点),(yxP，则yyxx21①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫．●活动②温故知新、提炼概念8/17那么如何由正弦曲线xysin怎样得到曲线xysin3呢？在由正弦曲线xysin上任取一点),(yxP，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，就的到曲线xysin3.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设),(yxP为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点),(yxP，则yyxx3②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫．●活动③巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线xysin怎样得到曲线xy2sin3呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的21，再保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，就可得曲线xy2sin3.类比上述情况，即：设平面直角坐标系中任意一点),(yxP经过上述变换后为点),(yxP，那么yyxx321③我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.一般地，设),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换)0()0(:yyxx的作用下，点),(yxP对应点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念．活动④巩固基础，检查反馈9/17例3在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换yyxx2131后的图形.⑴14922yx；⑵1121822yx⑶xy22【知识点】伸缩变换．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】．⑴由伸缩变换yyxx2131得yyxx23代入14922