4.1实数指数幂及其运算法则

第四章指数函数与对数函数浮来山上“千年古刹定林寺”曾是南北朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居,距今已有1500多年的历史,院内有一棵银杏树,树龄达3500多年,号称“天下第一银杏树”．树龄达3500多年,树高26.3米,周粗15.7米,号称“天下第一银杏树”.银杏,叶子夏绿秋黄,是全球中最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把它称为“世界第一活化石”.考古学家根据什么推断出银杏于200多万年前就存在呢?问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题:(1)当生物体死亡了5730,5730×2,5730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?1,221(),231(),.2(2)当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?600057301(),210000057301(),.21000057301(),2(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?57301().2tP考古学家根据上式可以知道,生物死亡t年后,体内碳14的含量P的值.(4)那么这些数的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别?60001000030000573057305730111(),(),()222这里的指数是分数的形式.指数可以取分数吗?除了分数还可以取其它的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?自然数→整数→分数(有理数)→实数.关系式就会成为我们后面将要相继为了能更好地研究指数函数,我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程,这就是下面三节课将要研究的内容:57301()2tP(5)指数能否取分数(有理数)、无理数呢?如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后,从今天开始,我们学习指数与指数幂的运算.研究的一类基本初等函数—“指数函数”的一个具体模型.新课：§4.1实数指数幂及其运算§4.1.1分数指数幂本节课内容：1.n次根式2.分数指数幂3.实数指数幂及其运算法则22=4(-2)2=4回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根.②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a的立方根.2,-2叫4的平方根.2叫8的立方根.-2叫-8的立方根.23=8(-2)3=-824=16(-2)4=162,-2叫16的4次方根;2叫32的5次方根;2叫a的n次方根;x叫a的n次方根.xn=a2n=a25=32…………………………………………通过类比方法，可得n次方根的定义.1.方根的定义如果xn=a,那么x叫做a的n次方根.24=16(-2)4=1616的4次方根是±2.(-2)5=-32-32的5次方根是-2.2是128的7次方根.27=128即如果一个数的n次方等于a(n1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根.【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(1)25的平方根是_______;(2)27的三次方根是_____;(3)-32的五次方根是____;(4)16的四次方根是_____;(5)a6的三次方根是_____;(6)0的七次方根是______.点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n次方等于a.±53-2±20a223=8(-2)3=-8(-2)5=-3227=1288的3次方根是2.-8的3次方根是-2.-32的5次方根是-2.128的7次方根是2.奇次方根1.正数的奇次方根是一个正数,2.负数的奇次方根是一个负数.nana的次方根(奇用符号次)表示.382.记作：2-38-记作：2-532-记作：27128记作：72=49(-7)2=4934=81(-3)4=8149的2次方根是7，-7.81的4次方根是3，-3.偶次方根2.负数的偶次方根没有意义1.正数的偶次方根有两个且互为相反数(nanan正数的次方根用符号表示为偶数）26=64(-2)6=6464的6次方根是2，-2.749记作：正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.(1)奇次方根有以下性质：,21,N,,0,2,N.nnankkxnaakk那么如果,axn(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.nana根指数根式被开方数由xn=a可知，x叫做a的n次方根.233(9)____,(8)____.9-8当n是奇数时,对任意a∊R都有意义.它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根.na当n是偶数时,只有当a≥0有意义,当a0时无意义.na(0)naa≥(0)naa≥表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是.nnaa553322,22.(1)（）（）444444(3)22,,(2)222.(2)22233,(3)3.(3)3,式子对任意a∊R都有意义.nna结论:an开奇次方根,则有||.nnaa结论:an开偶次方根,则有.nnaa公式1.适用范围:①当n为大于1的奇数时,a∈R.②当n为大于1的偶数时,a≥0.公式2.适用范围:n为大于1的奇数,a∈R.公式3.适用范围:n为大于1的偶数,a∈R..nnaa||.nnaa44(3)(3);2(2)(10);2(4)()().abab33(8);（1）24423343310281ba解：=-8;=10;|3||10|||ab.abab3;例1.求下列各式的值例题例155)10()1(22)7()2(33)1()3(a44)()4(nm（2）当n为奇数时aann当n为偶数时)0()0(aaaaaann∵根指数5为奇数＝－10∵根指数2为偶数＝7＝a-1∵根指数3为奇数∵根指数4为偶数nm练习.求下列各式的值33)8()1(2)5()2(44)3()3(66)()4(ba＝－8＝｜-5｜=53ba3二、分数指数幂a0433(a)84a32aa510a255(a)1025aa312a1243aa824aa244(a)223333(a)a11222(a)a10105aa可看成的5次方根223aa3看成的次方根二、分数指数幂1.分指数幂的定义：)0()1(1aaann)1*,,,0()2(nNnmaaanmnm且)1*,,,0(1)3(nNnmaaanmnm且规定:2.注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；（2）根式与分式指数幂可以互化.（3）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没意义.例题例2把下列分数指数幂写成根式的形式32)1(a53)2(a23)3(a21)3(a例3把下列根式写成分数指数幂的形式a)1(36)2(a3)3(a32)(1)4(ba32a53a231a31a211aa121a36a2a23a32)(ba课堂练习11.用根式表示下列各式（a0）51)1(a43)2(a53)3(a32)4(a2.用分数指数幂表示下列各式52)1(x)0()()2(43baba)0()()3(32nmnm)()()4(4nmnm5a43a531a321a52x43)(ba32)(nm24)(nm2)(nm课堂练习2教材P40练一练（上）1、21.33)2()1(2)5()2(44)3()3()()()4(2baba＝－2＝｜-5｜=533baab2.32)1(x34)2(a531)3(a32x34a53a课堂小结：一、根式1.定义：形如叫做根式，)1*(nNnan且an叫做根指数，叫做被开方数2.根式的运算性质aann)(1）（（2）当n为奇数时aann当n为偶数时)0()0(aaaaaann二、分数指数幂)0()1(1aaann)1*,,,0()2(nNnmaaanmnm且)1*,,,0(1)3(nNnmaaanmnm且