苏教版高中数学(选修2-3)2.1《随机变量及其概率分布》

2.1随机变量及其概率分布一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ,η,ζ）;用小写拉丁字x,y,z(加上适当下标）等表示随机变量取的可能值。建构数学随机变量就是建立了一个从试验结果的集合到实数集合的映射。一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,…，xn，且P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n,①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列。Xx1x2…xnPp1p2…pn①可以用下表表示：我们将这个表称为随机变量X的概率分布表。它和①都叫做随机变量X的概率分布。pⅰ≥0p1+p2+…+pn=1例、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球个数”，求随机变量X的概率分布注：我们把这一类分布称为0-1分布或两点分布，并记为X~0-1分布或X~两点分布。“~”表示服从。例同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X的概率分布，并求X大于2小于5的概率P（2X5）。X的值出现的点情况数1（1，1）12（2，2）（2，1）（1，2）33(3,3)(3,2)(3,1)(2,3)(1,3)54(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(3,4)(2,4)(1,4)75(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)96(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6)11一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．例：解：”3“表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小∴)3(P362211CCC201”4“∴)4(P362311CCC203”5“∴)5(P362411CCC103”6“∴)6(P362511CCC21∴随机变量的分布列为：P654320120310321的所有取值为：3、4、5、6．表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小P－2－13210121611213141121分别求出随机变量⑴21122；⑵的分布列．解：⑴由211可得1的取值为－1、21、0、21、1、23且相应取值的概率没有变化∴的分布列为：1例6：已知随机变量的分布列如下：P－1101216112131411212121231P－2－13210121611213141121分别求出随机变量⑴21122；⑵的分布列．解：∴的分布列为：2例6：已知随机变量的分布列如下：⑵由可得2的取值为0、1、4、922)1()1()1(2PPP)0()0(2PP311214131)2()2()4(2PPP6112141)3()9(2PP121P09412131411312从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数的分布列．解：”1“表示只取一次就取到合格品∴)1(P113110CC1310”2“表示第一次取到次品，第二次取到合格品∴)2(P21311013ACC265”3“表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品∴)3(P31311023ACA1435)4(P41311033ACA2861∴随机变量的分布列为：的所有取值为：1、2、3、4．例⑴每次取出的产品都不放回此批产品中；⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；⑴同理可得P4321131026514352861从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数的分布列．解：”1“表示只取一次就取到合格品∴)1(P113110CC1310”2“表示第一次取到次品，第二次取到合格品∴)2(P”3“表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品∴)3(P∴随机变量的分布列为：的所有取值为：1、2、3、···，n，···．⑴每次取出的产品都不放回此批产品中；⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；⑵3101313233103101313131313)(nP同理可得13101313nP···3211310133131013321310·········n13101313n例超几何分布超几何分布的概率背景一批产品有N件，其中有M件次品，其余N-M件为正品．现从中取出n件．令X：取出n件产品中的次品数．则X的分布列为nMkCCCkXPnNknMNkM，，，，min10X此时，随机变量服从超几何分布如果随机变量X的分布列为nMkCCCkXPnNknMNkM，，，，min10均为自然数．，，其中nMNX则称随机变量服从超几何分布．,:(,,)knkMNMnNHknMNCCCP(X=k)=记为；),,(NMnX～记为：例如从全班任抽n个人，抽到女生的人数；从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n张彩票，中奖的张数，等等都可以用超几何分布描述。例1:一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出5个球,摸到4个红球1个白球的就中一等奖求中一等奖的概率.变题：至少摸出4个红球就中一等奖?例、例、超几何分布：适用于不放回抽取本小题第二问是二项分布这两个问题的求解方法一样吗?一个符号：事件AB我们把事件A和B同时发生的事件记为AB，即事件AB是由A和B的公共事件组成的事件ABAB1.定义：一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率，记为P(A︱B).ABABAB()BPAB中的基本事件数中的基本事件数)()(ABBPABPB＝事件总数中的基本事件数事件总数中的基本事件数这式子对几何概率也成立.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：（1）在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，A先B后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。因而有()()PBAPAB全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求(),(),(),(),(),PAPBPABPBAPAB(),(),(),()PCPCAPABPAC80100201001220128012100321001280328040100一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出的产品是合格品，则%45)|(BAP%4)(BP于是%96)(1)(BPBP所以()()PAPAB96%45%解()(|)PBPAB43.2%解一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．设Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,则6()0.610PA（2）()PAB（3）()()()PABPAPBA（1）()()PAPBA650.33109460.27109答：略。某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁”(即≥25)则()0.7,()0.56PAPB所求概率为()()()0.8()()PABPBPBAPAPAAB0.560.75答：略。一般地，若事件A，B满足P（A︱B）=P（A），则称事件A，B独立。1）当A，B独立时，B,A也是独立的，即A与B独立是相互的。2）当A，B独立时P（A︱B）=P（A）P（AB）=P（A）P（Ｂ）Ａ事件的发生不影响事件Ｂ的发生概率或或推广：若事件Ａ１，Ａ２．．．Ａｎ相互独立，则这ｎ个事件同时发生的概率Ｐ（Ａ１Ａ２．．．Ａｎ）＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）．．．Ｐ（Ａｎ）例１求证：若事件Ａ与Ｂ独立，则事件Ａ与也相互独立。BABABBAAB结论：若事件与独立则与，与与都独立。一拖三概率意义()PAB()PAB()PAB()PAB1()PAB1()PAB()PABABA、B同时发生的概率A、B中至多有一个发生的概率A、B中至少有一个发生的概率A、B中恰有一个发生的概率A、B都不发生的概率A发生B不发生的概率A不发生B发生的概率（五）讨论研究例２：如图用X，Y，Z三类不同的元件连接成系统N，当元件X，Y，Z都正常工作时，系统N正常工作。已知元件X，Y，Z正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N正常工作的概率P。XYZ思考：若系统连接成下面的系统，则该系统正常工作的概率为多少？XYZ例4、甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，求（1）2人都击中目标的概率；（2）只有甲击中目标的概率；（3）恰有1人击中目标的概率；（4）至少有1人击中目标的概率；（5）至多有1人击中目标的概率。2.4二项分布独立重复试验一般地,由n次试验构成,且每次试验相互独立完成,每次试验的结果仅有两种对立的状态,即A与A,每次试验中P(A)=p0,我们将这样的试验称为n次独立重复试验,也称为伯努利试验(Bernoullitrials)).,2,1,0()1()(nkPPCkPknkknn在n次独立重复试验中，如果事件Ａ在其中１次试验中发生的概率是Ｐ，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是:1).公式适用的条件2).公式的结构特征knkknnppCkP)1()(（其中k=0，1，2，···，n）实验总次数事件A发生的次数事件A发生的概率发生的概率事件A意义理解变式5.填写下列表格：()(1)kknknPXkCpp（其中k=0，1，2，···，n）随机变量X的分布列:与二项式定理有联系吗?),(pnX～记为练习：某气象站天气预报的准确率为80%（保留2个有效数字）计算:（1）5次预报中恰有4次准确的概率（2）5次预报中至少有4次准确的概率电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时后，最多有一只坏了的概率。离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望，记为E(X)或μ．Xx1x2…xnPp1p2…pn其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝11、离散型随机变量的均值的定义若X~H(n,M,N)则E(X)＝NnM若X~B(n,p)则E(X)＝np2、两个分布的数学期望练习：1、已知随机变量的分布列为012345P0.10.20.30.20.10.1求E()2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的数学期望。2.303、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数X的数学期望E(X)。3.5例从批量较大的成品