2013年高考数学总复习-11-2-复数的概念与运算课件-新人教B版

第二节复数的概念与运算重点难点重点：(1)复数的有关概念．(2)复数代数形式的四则运算法则．难点：复数的分类、几何意义及除法运算．知识归纳一、复数的概念1．虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起，服从实数的运算律．2．代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．3．复数的分类复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，z是实数⇔，z是虚数⇔z是纯虚数⇔4．a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数b＝0b≠0a＝0b≠0二、复数相等的条件a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d.特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0.三、复平面建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量OZ→，与复数z一一对应，OZ→的模叫做复数z的模．四、运算法则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．1．z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；2．z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；3.z1z2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.误区警示1．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a、b、c、d∈R.因此，解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．2．两复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等与不相等关系．3．注意虚数与纯虚数的区别．一、方程思想解决复数问题，常常要设出复数的代数形式，或设出方程的实根，利用复数相等的条件转化为实数的方程求解．二、解题技巧复数的四则运算中，加、减法相当于“合并同类项”，乘法相当于“多项式乘以多项式”，除法采用的手法是“分母实数化”——即分子、分母同乘以分母的共轭复数．类似于“分母有理化”方法、可类比记忆[例1](2011·甘肃第一次高考诊断)如果复数z＝2－bi1＋i(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于()A．0B．1C．2D．3复数的实部与虚部分析：为了得到复数z的实部与虚部，应先将z分母实数化，化为z＝m＋ni(m、n∈R)的形式．m＋ni的实数化因子为m－ni.解析：z＝2－bi1－i1＋i1－i＝2－b2－2＋b2i，由2－b2＝2＋b2，得b＝0.答案：A若复数z＝7＋ai2－i的实部为3，则z的虚部为________．解析：z＝7＋ai2－i＝7＋ai2＋i2－i2＋i＝14－a＋2a＋7i5，由条件知，14－a5＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i，∴z的虚部为1.答案：1[例2](2010·广东罗湖区调研)若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1B．3C．1或3D．－1复数的分类解析：由条件知a2－4a＋3＝0a－1≠0，∴a＝3.答案：B点评：掌握复数分类的充要性是解此类题的关键.复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决实际问题提供了一条重要思路.要准确理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的一个必要条件是b≠0.计算中分母不为零也不可忽视．(文)(2010·广东佛山)若复数a＋3i1＋2i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．－2B．4C．－6D．6解析：∵a＋3i1＋2i＝a＋3i1－2i1＋2i1－2i＝a＋6＋3－2ai5为纯虚数，∴a＋6＝03－2a≠0，∴a＝－6.答案：C(理)当m为何实数时，复数z＝2m2－3m－2m2－25＋(m2＋3m－10)i，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．解析：(1)∵z是实数，∴m2＋3m－10＝0m2－25≠0，∴m＝2.(2)∵z是虚数，∴m2＋3m－10≠0，m2－25≠0，∴m≠2,5，－5.(3)∵z是纯虚数，∴2m2－3m－2m2－25＝0，m2＋3m－10≠0，∴m＝－12.[例3](2010·江西理)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为()A．x＝－1，y＝1B．x＝－1，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝2分析：按复数的乘法运算展开后，由复数相等的条件列方程组求解．复数相等的条件解析：由(x＋i)(1－i)＝y得(x＋1)－(x－1)i＝y由复数相等有x＋1＝yx－1＝0，解得x＝1y＝2，故选D.答案：D(文)(2011·湖南文，2)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：由(a＋i)i＝b＋i，得ai－1＝b＋i，所以a＝1，b＝－1.答案：C(理)(2011·安徽宣城调研)已知i是虚数单位，复数z满足iz＋i＝2－i，则z＝()A．－15－35iB．－15＋35iC.15－35iD.15＋35i解析：由题意得，z＝i2－i－i＝i2＋i5－i＝－15－35i.答案：A[例4](2011·新课标全国理，1)复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35iB.35iC．－iD．i分析：通过运算把复数写成a＋bi(a、b∈R的形式)，则其共轭复数为a－bi.共轭复数解析：依题意：2＋i1－2i＝2i－11－2i·i＝－1i＝i，∴其共轭复数为－i，选C.答案：C(2011·东北三校联考)复数(3i－1)i的共轭复数是()A．3－iB．3＋iC．－3－iD．－3＋i解析：∵z＝(3i－1)i＝－3－i，∴z－＝－3＋i，故选D.答案：D[例5](2011·烟台模拟)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()复数的几何意义A．EB．FC．GD．H分析：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z在复平面内的对应点为Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点．解析：∵点Z(3,1)对应的复数为z，∴z＝3＋i，z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H点．答案：D(2011·山东理，2)复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵z＝2－i2＋i＝2－i25＝4－4i－15＝35－45i.∴z在复平面内对应的点为(35，－45)，故选D.答案：D[例6](2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|z－|＝2＋i，则z等于()A．－34＋iB.34－iC.34＋iD．－34－i复数的模解析：由z＝2－|z－|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2－a2＋1，∴a＝34，故选C.答案：C若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，z－对应点在直线y＝43x上，则z＝________.解析：设z－＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti，∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，∵z的对应点在第二象限，∴t0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.答案：－3＋4i一、选择题1．(文)若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是()A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[答案]C[解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.[点评]复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．(理)若a、b∈R，则复数(a2＋6a＋10)＋(－b2－4b－5)i对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋10，－b2－4b－5＝－(b＋2)2－10.2．(2011·潍坊模拟)i是虚数单位，若2＋i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是()A．0B.12C．1D．2[答案]C[解析]∵a＋bi＝2＋i1＋i＝2＋i1－i1＋i1－i＝3－i2，a，b∈R，∴a＝32，b＝－12，∴a＋b＝1.二、填空题3．复数z1＝2－i，z2＝4＋3i在复平面内的对应点分别为A、B，线段AB的中点为P，则点P对应复数的共轭复数为________．[答案]3－i[解析]由条件知A(2，－1)，B(4,3)，∴线段AB的中点P(3,1)，对应复数z＝3＋i，其共轭复数z－＝3－i.